Các không xác định không thể thiếu. Tính tích phân không xác định

Một trong những phần cơ bản của phân tích toán học là tích phân. Nó bao gồm một lĩnh vực rất rộng của các đối tượng, nơi đầu tiên - đó là không xác định không thể thiếu. Vị trí của nó đứng như một chìa khóa mà vẫn còn trong trường trung học cho thấy ngày càng có nhiều triển vọng và cơ hội, trong đó mô tả toán học cao hơn.

xuất hiện

Thoạt nhìn, có vẻ như hoàn toàn không thể thiếu để hiện đại, chuyên đề, nhưng trong thực tế nó chỉ ra rằng ông trở lại vào năm 1800 trước Công nguyên. Trang chủ chính thức coi Ai Cập như đã không đạt được chúng tôi bằng chứng trước về sự tồn tại của nó. Nó do thiếu thông tin, tất cả các vị trí trong khi chỉ đơn giản như một hiện tượng. Ông một lần nữa khẳng định mức độ phát triển khoa học của các dân tộc trên những khoảng thời gian. Cuối cùng, các tác phẩm đã được tìm thấy các nhà toán học Hy Lạp cổ đại, có niên đại từ thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên. Họ mô tả các phương pháp sử dụng hợp không xác định không thể thiếu, bản chất trong số đó là để tìm ra khối lượng hoặc diện tích của một hình dạng cong (ba chiều và hai chiều máy bay, tương ứng). Tính toán này dựa trên nguyên tắc phân chia con số ban đầu thành các thành phần vô cùng nhỏ, với điều kiện là khối lượng (khu vực) đã được biết đến đối với họ. Theo thời gian, phương pháp đã phát triển, Archimedes sử dụng nó để tìm diện tích của một parabol. tính toán tương tự tại cùng một thời điểm để thực hiện bài tập ở Trung Quốc cổ đại, nơi họ đã hoàn toàn độc lập với khoa học đồng Hy Lạp.

phát triển

Các bước đột phá tiếp theo trong thế kỷ XI BC đã trở thành công việc của các học giả Ả Rập "toa xe" Abu Ali al-Basri, người đã đẩy ranh giới của đã được biết đến, được bắt nguồn từ công thức không thể thiếu để tính số tiền của các số liệu và độ từ người đầu tiên thứ tư, áp dụng cho điều này được biết đến với chúng tôi phương pháp quy nạp.
Tâm trí của ngày nay được ngưỡng mộ bởi người Ai Cập cổ đại tạo ra những di tích tuyệt vời mà không bất kỳ công cụ đặc biệt, ngoại trừ rằng bàn tay của mình, nhưng không phải là một cường quốc khoa học điên của thời gian không kém một điều kỳ diệu? So với thời gian hiện tại của cuộc sống của họ dường như gần như nguyên thủy, nhưng quyết định của tích phân không xác định suy luận ở khắp mọi nơi và sử dụng trong thực tế để phát triển hơn nữa.

Bước tiếp theo diễn ra vào thế kỷ XVI, khi nhà toán học người Ý Cavalieri mang phương pháp bất khả phân, mà nhặt mỗi Ferma. Hai tính cách đặt nền móng cho các tích phân hiện đại, được biết đến vào lúc này. Họ trói các khái niệm về sự khác biệt và hội nhập, mà trước đây được coi là đơn vị khép kín. Nhìn chung, cơ sở toán học của thời điểm đó là các hạt rời rạc phát hiện tồn tại của bản thân, với việc sử dụng hạn chế. Cách để đoàn kết và tìm thấy điểm chung là chỉ đúng vào lúc này, nhờ ông, hiện đại phân tích toán học đã có cơ hội để phát triển và phát triển.

Với việc thông qua thời gian thay đổi tất cả mọi thứ và biểu tượng không thể thiếu là tốt. Bởi và lớn, nó đã được chỉ định các nhà khoa học người theo cách riêng của mình, ví dụ, Newton sử dụng một biểu tượng hình vuông, trong đó đưa một chức năng khả tích, hoặc đơn giản là đặt lại với nhau. Sự chênh lệch này kéo dài cho đến thế kỷ XVII, khi một bước ngoặt cho toàn bộ lý thuyết của nhà khoa học phân tích toán học Gotfrid Leybnits giới thiệu như một nhân vật quen thuộc với chúng ta. Thuôn dài "S" là thực sự dựa trên bức thư này của bảng chữ cái La Mã, từ biểu thị tổng của nguyên thủy. Tên của tích phân thu được nhờ Jakob Bernoulli, sau 15 năm.

Định nghĩa chính thức

Tích phân không xác định phụ thuộc vào định nghĩa của nguyên thủy, vì vậy chúng tôi xem xét nó ở nơi đầu tiên.

Nguyên hàm - là hàm nghịch đảo của đạo hàm, trên thực tế nó được gọi là nguyên thủy. Nếu không: chức năng nguyên thủy của d - là một chức năng D, đó là đạo hàm v <=> V '= v. Tìm kiếm nguyên thủy là để tính toán tích phân xác định, và quá trình tự được gọi là hội nhập.

Ví dụ:

Chức năng s (y) = y ^3, và S của nó nguyên thủy (y) = (y ^4/4).

Tập hợp của tất cả các nguyên thủy của hàm - đây là một vô hạn không thể thiếu, ký hiệu như sau: ∫v (x) dx.

Nhờ thực tế là V (x) - chỉ có một số chức năng gốc nguyên thủy, biểu hiện giữ: ∫v (x) dx = V (x) + C, trong đó C - không đổi. Dưới hằng số tùy ý đề cập đến bất kỳ liên tục, kể từ phái sinh của nó là zero.

tính

Các tính chất ám ảnh bởi tích phân xác định, về cơ bản dựa trên định nghĩa và tính chất của dẫn xuất.
Hãy xem xét những điểm mấu chốt:

• phái sinh không thể thiếu trong nguyên thủy là nguyên thủy bản thân cộng với một tùy ý liên tục C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• đạo hàm của tích phân của một hàm là hàm gốc <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• liên tục được lấy ra từ dưới các dấu hiệu không thể thiếu <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, với k - là tùy ý;
• không thể tách rời, mà được lấy từ tổng các hệt bằng tổng của tích phân <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Hai thuộc tính cuối cùng có thể kết luận rằng không thể thiếu không xác định là tuyến tính. Do đó, ta có: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Để xem ví dụ về sửa chữa các giải pháp tích phân không xác định.

Bạn phải tìm ra ∫ không thể thiếu (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Từ ví dụ trên chúng ta có thể kết luận rằng bạn không biết làm thế nào để giải quyết tích vô thời hạn? Chỉ cần tìm tất cả các nguyên thủy! Nhưng việc tìm kiếm các nguyên tắc thảo luận dưới đây.

Phương pháp và ví dụ

Để giải quyết không thể thiếu, bạn có thể dùng đến các phương pháp sau:

• sẵn sàng để tận dụng lợi thế của bảng;
• tích hợp bởi các bộ phận;
• tích hợp bằng cách thay thế các biến;
• tổng hợp dưới dấu hiệu của sự khác biệt.

bảng

Cách đơn giản nhất và thú vị. Tại thời điểm này, phân tích toán học có thể tự hào bảng khá rộng, trong đó nêu ra các công thức cơ bản của tích phân không xác định. Nói cách khác, có những mẫu có nguồn gốc tùy thuộc vào bạn và bạn chỉ có thể tận dụng lợi thế của họ. Dưới đây là danh sách các vị trí bảng chính, mà có thể được hiển thị hầu như mọi trường hợp, có một giải pháp:

• ∫0dy = C, trong đó C - liên tục;
• ∫dy = y + C, trong đó C - liên tục;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, trong đó C - một hằng số, và n - số khác nhau từ sự hiệp nhất;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, trong đó C - liên tục;
• ^{∫e y dy = e y + C} , trong đó C - liên tục;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, trong đó C - liên tục;
• ∫cosydy = siny + C, trong đó C - liên tục;
• ∫sinydy = -cosy + C, trong đó C - liên tục;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, trong đó C - liên tục;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, trong đó C - liên tục;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, trong đó C - liên tục;
• ∫chydy = nhút nhát + C, trong đó C - liên tục;
• ∫shydy = chy + C, trong đó C - không đổi.

Nếu cần thiết, thực hiện một vài bước dẫn tích phân đến một cái nhìn bảng và tận hưởng chiến thắng. VÍ DỤ: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Theo quyết định rõ ràng là một ví dụ tích phân bảng thiếu nhân 5. Chúng tôi thêm nó song song với nhân lên này bằng 1/5 đến biểu hiện chung không thay đổi.

Tích hợp bởi phần

Hãy xem xét hai chức năng - z (y) và x (y). Họ phải liên tục vi trên phạm vi của nó. Trong một đặc tính khác biệt chúng ta có: d (xz) = xdz + ZDX. Lồng ghép cả hai bên, chúng tôi nhận được: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Viết lại phương trình kết quả, chúng tôi nhận được công thức, trong đó mô tả các phương pháp tích hợp bởi phần: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Tại sao nó cần thiết? Thực tế là một số ví dụ nó có thể đơn giản hóa, chúng ta hãy nói, để giảm ∫xdz ∫zdx, nếu sau này là gần với dạng bảng. Ngoài ra, công thức này có thể được sử dụng nhiều hơn một lần, cho kết quả tối ưu.

Làm thế nào để giải quyết tích phân không xác định như sau:

• cần thiết để tính toán ∫ (s + 1) ^2s e ds

∫ (x + ^{1) 2s e ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) ^{2s e)} / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) ^{2s e)} / 2-e ^2s / 4 + C;

• phải tính toán ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (LNS-1) + C.

Thay thế biến

Nguyên tắc này giải quyết tích phân không xác định là không ít nhu cầu hơn so với trước đó hai, mặc dù phức tạp. Phương pháp này là như sau: Chúng ta hãy V (x) - tích phân của một số chức năng v (x). Trong trường hợp của riêng mình không thể thiếu trong ví dụ slozhnosochinenny đến, có thể sẽ bị lẫn lộn và đi xuống các giải pháp con đường sai lầm. Để tránh sự thay đổi này thực tế từ biến x để z, trong đó biểu hiện chung đơn giản trực quan trong khi duy trì z tùy thuộc vào x.

Trong thuật ngữ toán học, đây là như sau: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), trong đó x = y ( z) - thay thế. Và, tất nhiên, hàm nghịch đảo z = y ^-1 (x) mô tả đầy đủ các mối quan hệ và mối quan hệ của các biến. Quan trọng lưu ý - các dx khác biệt nhất thiết thay thế bằng một dz khác biệt mới, vì sự thay đổi của biến trong tích phân không xác định liên quan đến việc thay thế nó ở khắp mọi nơi, không chỉ trong tích phân.

Ví dụ:

• phải tìm ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Áp dụng các thay z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Sau đó dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Kết quả là, các biểu thức sau đây, rất dễ dàng để tính toán:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² 2s-5 + | + C;

• bạn phải tìm ra không thể thiếu ∫2 ^s đ ^s dx

Để giải quyết vấn viết lại theo hình thức sau:

^{∫2 s đ s ds = ∫ (} 2e) s ds.

Chúng tôi biểu thị bởi a = 2e (thay thế của các đối số bước này không phải là, nó vẫn là), chúng tôi cung cấp cho chúng tôi dường như phức tạp không thể thiếu để hình thành bảng cơ bản:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s đ ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s đ ^s / (ln2 + 1) + C.

Tổng kết một dấu hiệu khác biệt

Nhìn chung, phương pháp này tích phân vô hạn - người anh song sinh của nguyên tắc của sự thay đổi của biến, nhưng có sự khác biệt trong quá trình đăng ký. Chúng ta hãy xem xét một cách chi tiết hơn.

Nếu ∫v (x) dx = V (x) + C và y = z (x), sau đó ∫v (y) dy = V (y) + C.

Đồng thời chúng ta không được quên những biến đổi không thể thiếu tầm thường, trong đó:

• dx = d (x + a), và trong đó - mỗi liên tục;
• dx = (1 / a) d (ax + b), nơi một - liên tục một lần nữa, nhưng không phải không;
• xdx = 1 / 2ngày (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Nếu chúng ta xem xét các trường hợp chung mà chúng tôi tính toán tích phân xác định, ví dụ có thể được gộp dưới công thức chung w '(x) dx = dw (x).

ví dụ:

• phải tìm ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2ngày (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

Hỗ trợ trực tuyến

Trong một số trường hợp, lỗi trong số đó có thể trở thành hoặc lười biếng, hoặc một nhu cầu cấp thiết, bạn có thể sử dụng các hướng dẫn trên mạng, hay đúng hơn, để sử dụng một máy tính tích phân không xác định. Mặc dù mức độ phức tạp rõ ràng và thiên nhiên gây nhiều tranh cãi của tích phân, quyết định phụ thuộc vào thuật toán cụ thể của họ, mà là dựa trên nguyên tắc "nếu bạn không ... sau đó ...".

Tất nhiên, một ví dụ đặc biệt phức tạp của một máy tính như vậy sẽ không làm chủ, như có những trường hợp trong đó một quyết định phải tìm một cách nhân tạo "buộc" bằng cách giới thiệu một số yếu tố trong quá trình này, vì kết quả là cách rõ ràng để đạt được. Mặc dù tính chất gây tranh cãi của tuyên bố này, đó là sự thật, như toán học, về nguyên tắc, một môn khoa học trừu tượng, và mục tiêu chính của nó xem xét sự cần thiết phải trao quyền biên giới. Thật vậy, đối với một mịn chạy trong các lý thuyết là rất khó khăn để di chuyển lên và phát triển, do đó, không giả định rằng các ví dụ giải quyết tích phân xác định, mà đã cho chúng tôi - đây là chiều cao của cơ hội. Nhưng trở lại các khía cạnh kỹ thuật. Ít nhất để kiểm tra tính toán, bạn có thể sử dụng dịch vụ, trong đó nó được viết cho chúng tôi. Nếu có một nhu cầu tự động tính toán biểu thức phức tạp, sau đó họ không cần phải dùng đến một phần mềm nghiêm trọng hơn. Nên chú ý chủ yếu vào môi trường Matlab.

ứng dụng

Quyết định của tích phân không xác định thoạt nhìn có vẻ hoàn toàn tách ra từ thực tế, bởi vì rất khó để thấy việc sử dụng rõ ràng của máy bay. Trên thực tế, trực tiếp sử dụng chúng bất cứ nơi nào bạn không thể, nhưng họ là một yếu tố trung gian cần thiết trong quá trình thu hồi các giải pháp sử dụng trong thực tế. Do đó, việc lồng ghép các sự khác biệt trở lại, do đó tích cực tham gia trong quá trình giải phương trình.
Đổi lại, những phương trình có ảnh hưởng trực tiếp đến quyết định các vấn đề cơ khí, tính toán quỹ đạo và dẫn nhiệt - trong ngắn hạn, tất cả mọi thứ đó được hiểu là hiện tại và định hình tương lai. ví dụ vô hạn không thể thiếu, trong đó chúng tôi đã xem xét ở trên, chỉ tầm thường ở cái nhìn đầu tiên, như một cơ sở để thực hiện ngày càng có nhiều khám phá mới.