Khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Pháp luật của lý thuyết xác suất

Nhiều người, khi đối mặt với khái niệm "lý thuyết xác suất", sợ hãi, nghĩ rằng nó là một cái gì đó không thể chấp nhận, rất khó khăn. Nhưng nó thực sự không quá bi thảm. Hôm nay chúng ta nhìn vào những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất, học cách giải quyết vấn đề này bằng ví dụ cụ thể.

khoa học

Điều gì đang nghiên cứu một chi nhánh của toán học như là một "lý thuyết xác suất"? Nó nhấn mạnh mô hình của các sự kiện ngẫu nhiên và các biến. Đây là lần đầu tiên vấn đề liên quan Các nhà khoa học trong thế kỷ XVIII, khi nghiên cứu đánh bạc. khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất - sự kiện. Đó là bất kỳ thực tế được quy định bởi kinh nghiệm hoặc quan sát. Nhưng kinh nghiệm là gì? Một khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Nó có nghĩa là phần này trong các trường hợp không được vô tình tạo ra, và với một mục đích. liên quan đến giám sát với, có nhà nghiên cứu chính mình không tham gia vào các kinh nghiệm, nhưng chỉ đơn giản là một nhân chứng cho những sự kiện này, nó không ảnh hưởng đến những gì đang xảy ra.

sự kiện

Chúng tôi biết rằng các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất - sự kiện này, nhưng không xem xét phân loại. Tất cả trong số họ được chia thành các loại sau:

• Đáng tin cậy.
• Impossible.
• Ngẫu nhiên.

Không có vấn đề gì sự kiện này là, hiện đang được xem hoặc được tạo ra trong quá trình thí nghiệm, họ bị ảnh hưởng bởi phân loại này. Chúng tôi cung cấp tất cả các loại đáp ứng riêng biệt.

sự kiện nhất định

Đây là một thực tế mà làm cho các thiết lập cần thiết của hoạt động này. Để nắm rõ hơn về bản chất, nó là tốt hơn để đưa ra một vài ví dụ. Đây là cấp dưới định của pháp luật và vật lý, hóa học, kinh tế học, và toán học cao hơn. lý thuyết xác suất bao gồm như một khái niệm quan trọng như một sự kiện quan trọng. Dưới đây là một số ví dụ:

• Chúng tôi làm việc và nhận thù lao dưới hình thức tiền lương.
• Vâng thông qua các kỳ thi, thông qua một cuộc thi cho nó để nhận thù lao theo hình thức nhập học vào một cơ sở giáo dục.
• Chúng tôi đã đầu tư tiền vào ngân hàng, lấy lại nếu cần thiết.

sự kiện như vậy là đúng. Nếu chúng ta đã hoàn thành tất cả các điều kiện cần thiết, hãy chắc chắn để có được những kết quả mong đợi.

sự kiện bất khả thi

Bây giờ chúng ta xem xét các yếu tố của lý thuyết xác suất. Chúng tôi cung cấp để đi đến giải thích trong các loại sau đây của các sự kiện - cụ thể là những điều không thể. Để bắt đầu quy định nguyên tắc quan trọng nhất - xác suất của một sự kiện không thể là zero.

Từ công thức này không thể được derogated trong việc giải quyết vấn đề. Để minh họa cho ví dụ về các sự kiện như:

• Nước được đông lạnh ở nhiệt độ cộng mười (nó không thể).
• Việc thiếu điện không ảnh hưởng đến sản xuất (như không thể như trong ví dụ trước).

Thêm ví dụ được đưa ra là không cần thiết, như mô tả ở trên rất rõ ràng phản ánh bản chất của thể loại này. sự kiện không thể không bao giờ xảy ra trong thí nghiệm dưới bất kỳ hoàn cảnh nào.

sự kiện ngẫu nhiên

Bằng cách nghiên cứu các yếu tố của lý thuyết xác suất, đặc biệt cần chú ý đến các loại nhất định của sự kiện. Đây là những người nghiên cứu khoa học này. Theo kết quả của kinh nghiệm của một cái gì đó có thể xảy ra hay không. Bên cạnh đó, các thử nghiệm không giới hạn số lần có thể được thực hiện. ví dụ đáng chú ý bao gồm:

• Quăng đồng xu - đó là một kinh nghiệm, hoặc kiểm tra, mất một con đại bàng - sự kiện này.
• Kéo bóng từ túi một cách mù quáng - kiểm tra, đã bị bắt đỏ bóng - sự kiện này và vân vân.

ví dụ như vậy có thể là một số không giới hạn, nhưng, nói chung, là phải được hiểu. Để tóm tắt và hệ thống hóa các kiến thức thu được về các sự kiện của một bảng. nghiên cứu lý thuyết xác suất chỉ là loại thứ hai của tất cả các trình bày.

luật

lý thuyết xác suất - khoa học nghiên cứu về khả năng xảy ra mất mát của bất kỳ sự kiện. Giống như những người khác, nó có một số quy tắc. Các luật sau đây của lý thuyết xác suất:

• Sự hội tụ của chuỗi của các biến ngẫu nhiên.
• Luật pháp của một số lượng lớn.

Khi tính toán khả năng của một phức tạp có thể được sử dụng các sự kiện đơn giản phức tạp để đạt được kết quả dễ dàng hơn và nhanh hơn cách. Cần lưu ý rằng luật pháp của lý thuyết xác suất có thể dễ dàng chứng minh với sự giúp đỡ của một số các định lý. Chúng tôi đề nghị để bắt đầu làm quen với luật đầu tiên.

Sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên

Lưu ý rằng sự hội tụ của nhiều loại:

• Trình tự của các biến ngẫu nhiên hội tụ trong xác suất.
• Hầu như bất khả thi.
• RMS tụ.
• Hội tụ trong phân phối.

Vì vậy, khi đang bay, nó là rất khó khăn để nắm bắt bản chất. Dưới đây là các định nghĩa đó sẽ giúp chúng ta hiểu chủ đề. Để bắt đầu với cái nhìn đầu tiên. Trình tự được gọi là hội tụ trong xác suất, nếu điều kiện sau đây: n tiến tới vô cùng, số lượng tìm kiếm bởi các dãy là lớn hơn không và gần gũi với các đơn vị.

Chuyển đến giao diện tiếp theo, gần như chắc chắn. Họ nói rằng dãy hội tụ gần như chắc chắn cho một biến ngẫu nhiên với n xu hướng đến vô cùng, và R, chăm sóc đến một giá trị gần thống nhất.

Các loại kế tiếp - một hội tụ của RMS. Khi sử dụng tụ SC-học của các quá trình ngẫu nhiên vector giảm cho việc nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên phối hợp.

Là loại cuối cùng, chúng ta hãy nhìn ngắn gọn và đi thẳng tới các giải pháp của vấn đề. Hội tụ trong phân phối có tên khác - "yếu", sau đó giải thích tại sao. Yếu hội tụ - là nơi hội tụ của các chức năng phân phối tại tất cả các điểm của tính liên tục của hàm phân phối giới hạn.

Hãy chắc chắn để giữ lời hứa: hội tụ yếu là khác nhau từ khắp nơi trên có biến ngẫu nhiên không được định nghĩa trên không gian xác suất. Điều này có thể vì tình trạng này được hình thành độc quyền sử dụng các chức năng phân phối.

Luật pháp của một số lượng lớn

Lớn helper trong chứng minh của pháp luật sẽ là định lý của lý thuyết xác suất, chẳng hạn như:

• bất bình đẳng Chebyshev.
• Định lý Chebyshev.
• Khái quát hóa Chebyshev lý.
• Markov lý.

Nếu chúng ta xem xét tất cả những định lý, sau đó vấn đề này có thể mất vài chục tấm. Chúng tôi có nhiệm vụ chính - là ứng dụng của lý thuyết xác suất trong thực tế. Chúng tôi cung cấp cho bạn ngay bây giờ và làm điều đó. Nhưng trước khi chúng ta xem xét các tiên đề của lý thuyết xác suất, họ là đối tác quan trọng trong việc giải quyết vấn đề.

tiên đề

Từ đầu tiên, chúng ta đã thấy, khi nói về sự kiện bất khả thi. Hãy nhớ rằng: xác suất của một sự kiện không thể là zero. Ví dụ chúng tôi đã đưa ra một rất sinh động và đáng nhớ: tuyết rơi ở một nhiệt độ không khí ba mươi độ bách phân.

Thứ hai là như sau: một sự kiện nào đó xảy ra với xác suất thống nhất. Bây giờ chúng ta sẽ thấy làm thế nào nó được viết với sự giúp đỡ của ngôn ngữ toán học: P (B) = 1.

Thứ ba: Một sự kiện ngẫu nhiên có thể xảy ra hay không, nhưng khả năng luôn luôn là khác nhau từ số không đến một. Các địa điểm gần đó là để đoàn kết, cơ hội nhiều hơn; nếu giá trị là gần bằng không, xác suất là rất thấp. Chúng tôi viết này bằng ngôn ngữ toán học: 0

Hãy xem xét cuối cùng, tiên đề thứ tư, đó là: tổng các xác suất hai sự kiện là bằng tổng các xác suất của họ. Viết thuật ngữ toán học: P (A + B) = P (A) + P (B).

Các tiên đề của lý thuyết xác suất - đó là một quy tắc đơn giản mà sẽ không khó nhớ. Hãy cố gắng để giải quyết một số vấn đề, dựa trên kiến thức đã thu thập.

vé xổ số kiến thiết

Thứ nhất, xem xét ví dụ đơn giản nhất - xổ số. Hãy tưởng tượng rằng bạn mua một vé xổ số cho may mắn. xác suất mà bạn sẽ giành chiến thắng ít nhất hai mươi rúp là gì? Tổng lưu thông được tham gia vào một ngàn vé, một trong số đó có một giải thưởng của năm trăm rúp, 1000 rúp, hai mươi và năm mươi rúp, và 100-5. Nhiệm vụ của lý thuyết xác suất dựa trên làm thế nào để tìm một cách để may mắn. Bây giờ cùng chúng tôi phân tích quyết định trên chế độ xem Tasks.

Nếu chúng ta biểu thị bởi A giải thưởng năm trăm rúp, sau đó xác suất của A là tương đương với 0,001. Làm thế nào để chúng ta có được? Chỉ cần số lượng vé "may mắn" chia cho tổng số (trong trường hợp này: 1/1000).

Trong - mức tăng một trăm rúp, xác suất sẽ bằng 0,01. Bây giờ chúng ta đã hành động theo cách tương tự như hành động cuối cùng (10/1000)

C - thưởng phạt là hai mươi rúp. Tìm xác suất, nó tương đương với 0,05.

Phần còn lại của vé chúng tôi không quan tâm, như tiền thưởng của họ là ít hơn quy định tại điều kiện. Áp dụng một tiên đề thứ tư: Khả năng chiến thắng ít nhất hai mươi rúp là P (A) + P (B) + P (C). Bức thư P biểu thị khả năng nguồn gốc của sự kiện này, chúng tôi trong các bước trước đã tìm thấy chúng. Nó chỉ còn để nằm xuống các dữ liệu cần thiết, đáp ứng chúng tôi nhận 0,061. Con số này sẽ là câu trả lời cho câu hỏi của công việc.

boong of Cards

Các vấn đề về lý thuyết xác suất, cũng có phức tạp hơn, ví dụ, lấy công việc tiếp theo. Trước khi bạn boong của ba mươi sáu thẻ. Nhiệm vụ của bạn - để vẽ hai thẻ trong một hàng, mà không cần trộn đống, các thẻ đầu tiên và thứ hai phải là con át chủ bài, phù hợp với không thành vấn đề.

Để bắt đầu, tìm xác suất mà thẻ đầu tiên là một ace, chia này bốn và ba mươi sáu. Thiết lập nó sang một bên. Chúng tôi nhận được một thẻ thứ hai là một ace với xác suất 335. Xác suất của sự kiện thứ hai phụ thuộc vào thẻ chúng tôi kéo cái đầu tiên, chúng ta quan tâm, đó là một ace hay không. Từ đó ta suy ra rằng trong trường hợp phụ thuộc vào sự kiện A.

Bước tiếp theo chúng ta thấy khả năng thực hiện đồng thời, tức là, nhân A và B. Công việc của họ là như sau: xác suất của một sự kiện nhân với xác suất có điều kiện của người khác, chúng tôi tính toán, giả định rằng sự kiện đầu tiên đã xảy ra, tức là thẻ đầu tiên chúng tôi kéo một ace.

Để trở thành tất cả là rõ ràng, đưa ra các yếu tố như chỉ định như xác suất có điều kiện của sự kiện này. Nó được tính bằng cách giả định rằng sự kiện A xảy ra. Nó được tính như sau: P (B / A).

Chúng tôi mở rộng giải pháp cho vấn đề của chúng tôi: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) hoặc P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Xác suất là _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) được tính bằng cách làm tròn đến phần trăm gần Chúng tôi có: .. _* 0,11 (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. xác suất mà chúng ta rút ra hai con át chủ bài trong một hàng bằng 9/100. giá trị là rất nhỏ, nó sau đó xác suất của sự kiện xảy ra là rất thấp.

phòng bị lãng quên

Chúng tôi cung cấp làm ra một số tùy chọn hơn về công việc mà nghiên cứu lý thuyết về xác suất. Ví dụ về các giải pháp của một số trong những người bạn đã thấy trong bài viết này, hãy cố gắng giải quyết các vấn đề sau đây: Cậu bé quên số điện thoại của các chữ số cuối cùng của bạn mình, nhưng kể từ khi cuộc gọi là rất quan trọng, sau đó bắt đầu nhặt mỗi lần lượt. Chúng tôi cần phải tính toán xác suất rằng ông sẽ gọi không quá ba lần. giải pháp đơn giản nhất của vấn đề, nếu bạn biết các quy tắc, luật và các tiên đề của lý thuyết xác suất.

Trước khi bạn nhìn thấy một giải pháp, cố gắng giải quyết một mình. Chúng ta biết rằng các con số sau có thể từ zero đến chín, cho tổng cộng mười giá trị. điểm xác suất yêu cầu là 1/10.

Tiếp theo chúng ta cần phải xem xét các tùy chọn cho nguồn gốc của các sự kiện, chúng ta hãy giả định rằng cậu bé đoán đúng và giành quyền, xác suất của sự kiện đó bằng 1/10. Lựa chọn thứ hai: phiếu gọi đầu tiên, và mục tiêu thứ hai. Chúng tôi tính toán xác suất của sự kiện đó: 9/10 nhân với 1/9 vào cuối chúng tôi có được càng 1/10. Lựa chọn thứ ba: cuộc gọi đầu tiên và thứ hai hóa ra là sai địa chỉ, chỉ có cậu bé thứ ba là nơi ông muốn. Tính xác suất của sự kiện đó: 9/10 nhân với 8/9 và 1/8, chúng tôi có được là kết quả của 1/10. Các tùy chọn khác với điều kiện của vấn đề, chúng tôi không quan tâm, điều này vẫn còn để chúng tôi nằm xuống những kết quả, cuối cùng chúng tôi có một 3/10. Trả lời: Xác suất mà một chàng trai sẽ gọi không quá ba lần, tương đương với 0,3.

Thẻ với số

Trước khi bạn chín thẻ, mỗi trong số đó được viết một số 1-9, những con số không lặp lại. Họ đặt trong một hộp và trộn đều. Bạn cần phải tính toán xác suất mà

• cán một số chẵn;
• một hai chữ số.

Trước khi tiến tới quyết định quy định rằng m - là số trường hợp thành công, và n - là tổng số các tùy chọn. Chúng ta hãy tìm xác suất mà số là số chẵn. Không khó để tính toán rằng ngay cả con số của bốn, và nó là m của chúng tôi, tất cả chín tùy chọn có thể, đó là, m = 9. Sau đó, xác suất tương đương với 0,44 hoặc 4/9.

Chúng tôi xem xét trường hợp thứ hai, số lượng các biến thể của chín, và một kết quả thành công không thể có mặt tại tất cả, đó là, m là zero. Xác suất mà thẻ kéo dài sẽ chứa một số có hai chữ số, như bằng không.