Các Giả thuyết Riemann. Phân bố của số nguyên tố

Trong năm 1900, một trong những nhà khoa học vĩ đại nhất của thế kỷ trước, David Hilbert lập một danh sách gồm 23 vấn đề chưa được giải quyết của toán học. Làm việc trên chúng đã có một tác động to lớn đến sự phát triển của lĩnh vực này của tri thức nhân loại. Sau 100 năm tại Viện Toán học Clay trình bày một danh sách bảy vấn đề này, được gọi là các mục tiêu Thiên niên kỷ. Đối với quyết định của mỗi người trong số họ đã được cung cấp các giải thưởng $ 1 triệu.

Vấn đề duy nhất, đó là một trong hai danh sách câu đố, trong nhiều thế kỷ đã không đưa ra phần còn lại cho các nhà khoa học, trở thành giả thuyết Riemann. Cô vẫn đang chờ đợi quyết định của mình.

Giới thiệu tóm tắt thông tin tiểu sử

Georg Friedrich Bernhard Riemann được sinh ra vào năm 1826 ở Hanover, trong một gia đình lớn của một mục sư người nghèo, và sống chỉ 39 tuổi. Ông quản lý để xuất bản 10 giấy tờ. Tuy nhiên, trong cuộc sống của Riemann ông coi là một người kế nhiệm của cô giáo của mình Johann Gauss. Tại 25 năm nhà khoa học trẻ đã bảo vệ luận án của mình "Foundations of lý thuyết về chức năng của một biến phức tạp." Sau đó, ông xây dựng giả thuyết của mình, mà đã trở thành nổi tiếng.

số nguyên tố

Toán học đến khi người đàn ông đã học để đếm. Sau đó, nảy sinh ý tưởng đầu tiên của những con số, mà sau này đã cố gắng để phân loại. Nó đã được quan sát thấy rằng một số trong số họ có tài sản chung. Đặc biệt, trong số các số tự nhiên m. E. Những đó đã được sử dụng trong việc tính toán (đánh số) hoặc số được chỉ định của các mặt hàng đã được phân bổ một nhóm như vậy được chia chỉ bởi một và bản thân họ. Họ được gọi là đơn giản. Một bằng chứng thanh lịch của tập vô hạn định lý của số do Euclid trong "Elements" của mình. Tại thời điểm này, chúng tôi đang tiếp tục tìm kiếm của họ. Đặc biệt, lớn nhất của một số được biết đến ² 74207281 - 1.

công thức Euler

Cùng với khái niệm vô cùng nhiều nguyên tố Euclid định nghĩa và định lý thứ hai chỉ có thể thừa. Theo đó bất kỳ số nguyên dương là sản phẩm của chỉ có một bộ các số nguyên tố. Trong năm 1737, nhà toán học vĩ đại người Đức Leonhard Euler bày tỏ đầu tiên đề của Ơclit về tính vô hạn của công thức hiển thị dưới đây.

Nó được gọi là hàm zeta, nơi s - một hằng số và p là tất cả những giá trị đơn giản. Từ đó trực tiếp theo và chấp thuận của sự độc đáo của sự bành trướng của Euclid.

hàm zeta Riemann

công thức Euler về kiểm tra chặt chẽ hơn là khá đáng kể, như được đưa ra bởi tỷ lệ giữa đơn giản và số nguyên. Sau khi tất cả, ở bên trái của cô được nhân vô cùng nhiều biểu thức mà chỉ phụ thuộc vào đơn giản, và trong số tiền phải có liên quan đến tất cả các số nguyên dương.

Riemann tiếp tục Euler. Để tìm chìa khóa cho vấn đề của sự phân bố của các con số, nó được đề xuất để xác định công thức cho cả hai biến thực và phức tạp. Đó là cô người sau này được gọi là hàm zeta Riemann. Năm 1859 các nhà khoa học công bố một bài báo có tựa đề "Về số lượng các số nguyên tố không vượt quá một giá trị xác định trước", trong đó tóm tắt tất cả các ý tưởng của họ.

Riemann đề xuất việc sử dụng một số Euler, hội tụ cho tất cả s thực> 1. Nếu cùng một công thức được sử dụng để may bao phức tạp, sau đó bộ phim sẽ hội tụ cho bất kỳ trị của biến có phần thực lớn hơn 1. Riemann sử dụng việc tiếp tục phân tích của các thủ tục bằng cách mở rộng định nghĩa của zeta (s) cho tất cả các số phức tạp, nhưng "lướt qua" đơn vị. Đó là không thể, bởi vì nếu s = 1 hàm zeta tăng đến vô cùng.

ý nghĩa thực tiễn

Câu hỏi đặt ra: hàm zeta thú vị và quan trọng, đó là rất quan trọng trong công việc của Riemann trên giả thuyết là gì? Như bạn đã biết, vào lúc này không tìm thấy một mô hình đơn giản mà mô tả sự phân bố của số nguyên tố trong tự nhiên. Riemann thể phát hiện rằng số lượng pi (x) của số nguyên tố, mà không phải là vượt trội so với x, được thể hiện bởi sự phân bố của hàm zeta zero không tầm thường. Hơn nữa, giả thuyết Riemann là một điều kiện cần thiết để chứng minh đánh giá tạm thời các thuật toán mã hóa nhất định.

Giả thuyết Riemann

Một trong những công thức đầu tiên của vấn đề toán học này, không phải chứng minh cho đến ngày nay, là: tầm thường 0 zeta chức năng - số phức với phần thực bằng ½. Nói cách khác, họ được bố trí trên một đường thẳng Re s = ½.

Ngoài ra còn có một giả thuyết Riemann tổng quát, đó là tuyên bố tương tự, nhưng đối tổng quát của zeta-chức năng, được gọi là Dirichlet (xem. Ảnh dưới đây) L-hàm.

Trong χ thức (n) - một nhân vật số (mod k).

tuyên bố Riemann là cái gọi là giả thuyết, như đã được xác minh cho phù hợp với dữ liệu mẫu hiện có.

Như tôi đã lập luận Riemann

Lưu ý toán học người Đức đầu tiên được xây dựng khá tình cờ. Thực tế là vào thời điểm đó các nhà khoa học đang diễn ra để chứng minh một định lý về sự phân bố của số nguyên tố, và trong bối cảnh này, giả thuyết này không có nhiều tác dụng. Tuy nhiên, vai trò của nó trong việc giải quyết nhiều vấn đề khác là rất lớn. Đó là lý do tại sao các giả thuyết Riemann cho bây giờ nhiều nhà khoa học nhận ra tầm quan trọng của vấn đề toán học chưa được chứng minh.

Như đã nói, để chứng minh định lý về sự phân bố của các giả thuyết Riemann đầy đủ là không cần thiết, và khá hợp lý chứng minh rằng phần thực của bất kỳ không tầm thường zero của hàm zeta là giữa 0 và 1. Khách sạn này ngụ ý rằng tổng của tất cả 0-m hàm zeta xuất hiện trong công thức chính xác trên, - hữu hạn liên tục. Đối với giá trị lớn của x, tất cả có thể bị mất. Các thành viên duy nhất của công thức, mà sẽ không thay đổi ngay cả ở x rất cao, x là chính mình. Phần còn lại của các điều khoản phức tạp so với nó tiệm biến mất. Như vậy, tổng trọng có xu hướng x. Thực tế này có thể được coi là bằng chứng về sự thật của định lý số nguyên tố. Như vậy, số không của hàm Riemann zeta xuất hiện một vai trò đặc biệt. Đó là để chứng minh rằng những giá trị này không thể đóng góp đáng kể vào công thức mở rộng.

theo Riemann

Cái chết bi thảm từ lao ngăn cản các nhà khoa học đưa đến cuối logic của chương trình. Tuy nhiên, ông đã lấy dùi cui từ W-F. de la Vallée Poussin và Zhak Adamar. Độc lập với nhau họ đã rút lý số nguyên tố. Hadamard và Poussin được quản lý để chứng minh rằng tất cả các chức năng không tầm thường 0 zeta nằm trong biên độ quan trọng.

Nhờ công việc của các nhà khoa học, một chi nhánh mới của toán học - lý thuyết phân tích các con số. Sau đó, các nhà nghiên cứu khác đã nhận được một chút bằng chứng nguyên thủy hơn về định lý đang làm việc tại Rome. Đặc biệt, Pal Erdős và Atle Selberg đã mở thậm chí xác nhận chuỗi phức tạp của logic, không đòi hỏi việc sử dụng các phân tích phức tạp. Tuy nhiên, vào thời điểm này ý tưởng của Riemann của một số định lý quan trọng đã được chứng minh, trong đó có xấp xỉ của nhiều chức năng của lý thuyết số. Trong kết nối với công việc mới này Erdős và Atle Selberg hầu như bất cứ điều gì không bị ảnh hưởng.

Một trong những bằng chứng đơn giản nhất và đẹp nhất của vấn đề đã được tìm thấy vào năm 1980 bởi Donald Newman. Nó được dựa trên định lý Cauchy nổi tiếng.

Đe dọa nếu giả thuyết Riemann là cơ sở của mật mã hiện đại

Mã hóa dữ liệu nổi lên với sự xuất hiện của nhân vật, hay đúng hơn, chính họ có thể được coi là các mã đầu tiên. Tại thời điểm này, có một xu hướng hoàn toàn mới của mật mã kỹ thuật số, đó là tham gia vào sự phát triển của các thuật toán mã hóa.

Đơn giản và "semisimple" số m. E. Những mà chỉ được chia thành hai con số khác của cùng lớp, là nền tảng của một hệ thống khóa công khai, được gọi là RSA. Nó có một ứng dụng rộng rãi. Đặc biệt, nó được sử dụng trong việc tạo ra một chữ ký điện tử. Nếu chúng ta nói về sự "ấm trà" có sẵn, giả thuyết Riemann khẳng định sự tồn tại của hệ thống trong việc phân phối các số nguyên tố. Do đó, làm giảm đáng kể sức đề kháng của khóa mật mã, mà phụ thuộc sự an toàn của các giao dịch trực tuyến trong thương mại điện tử.

vấn đề toán học chưa được giải quyết khác

Toàn bộ bài viết có giá trị dành một vài từ để các nhiệm vụ khác của thiên niên kỷ. Chúng bao gồm:

• Bình đẳng của các tầng lớp P và NP. Vấn đề được xây dựng như sau: nếu một câu trả lời tích cực cho một câu hỏi cụ thể được xác nhận trong thời gian đa thức, sau đó là nó đúng là bản thân ông câu trả lời cho câu hỏi này có thể được tìm thấy một cách nhanh chóng?
• Giả thuyết Hodge. Trong thuật ngữ đơn giản nó có thể được quy định như sau: đối với một số loại đa tạp đại số xạ (số lượng) chu kỳ Hodge là sự kết hợp của các đối tượng có một sự giải thích hình học, đại số chu kỳ tức là ...
• giả thuyết Poincare. Đây là chỉ chứng minh tại những vấn đề thời điểm thiên niên kỷ. Theo đó bất kỳ đối tượng ba chiều có tính chất đặc thù của lĩnh vực 3 chiều, hình cầu phải chính xác để biến dạng.
• Chính của lượng tử Yang - lý thuyết Mills. Chúng tôi cần phải chứng minh rằng lý thuyết lượng tử, được đưa ra bởi các nhà khoa học không gian R ^4, có một khiếm khuyết 0 có khối lượng cho bất kỳ hiệu chỉnh đơn giản của một nhóm nhỏ gọn G.
• Giả thuyết của Birch - Swinnerton-Dyer. Đây là một vấn đề khác có liên quan đến mật mã. Nó liên quan đến các đường cong elip.
• Các vấn đề về sự tồn tại và êm ái của các giải pháp của các phương trình Navier - Stokes.

Bây giờ bạn biết giả thuyết Riemann. Trong thuật ngữ đơn giản, chúng tôi đã xây dựng và một số các mục tiêu khác của thiên niên kỷ. Thực tế là họ sẽ được giải quyết hoặc nó được chứng minh rằng họ không có giải pháp - đó là một vấn đề thời gian. Và điều này dường như không phải chờ đợi quá lâu, như toán học đang ngày càng sử dụng sức mạnh tính toán của máy tính. Tuy nhiên, không phải mọi thứ đều phụ thuộc vào nghệ thuật và để giải quyết các vấn đề khoa học chủ yếu đòi hỏi trực giác và sự sáng tạo.