Định đề thứ năm của Euclid: từ ngữ

Người ta tin rằng đã có 10 000 năm trước, văn minh nhân loại đầu tiên. So với tuổi của hành tinh chúng ta, trong đó, theo các nhà khoa học, khoảng 4.540.000 tuổi, đây chỉ là một khoảnh khắc ngắn ngủi. Đối với "khoảnh khắc" nhân loại này đã làm một bước nhảy vọt khổng lồ từ các công cụ bằng đá thô sơ để tàu vũ trụ liên hành tinh. Ông sẽ không thể thực hiện, nếu bất cứ lúc nào trên hành tinh này có thể đã được sinh ra một thiên tài, khoa học di chuyển về phía trước. Trong số đó, tất nhiên, đề cập Euclid. Tác phẩm của ông đã trở thành nền tảng và động lực mạnh mẽ cho sự phát triển của toán học hiện đại.

Bài viết này là về định đề thứ năm của Euclid và lịch sử của nó.

Làm thế nào mà hình học

Kể từ khi lô đất là chủ đề của tiền thuê nhà, kích thước và diện tích bán và giao hàng của họ cần phải được đo, kể cả việc tính toán. Bên cạnh đó, tính toán như vậy trở nên cần thiết trong việc xây dựng các công trình quy mô lớn, cũng như đo khối lượng các hạng mục khác nhau. Tất cả điều này đã trở thành điều kiện tiên quyết từ 3-4 ngàn năm trước ở Ai Cập và Babylon nghệ thuật khảo sát. Nó đã được thực nghiệm và là một tập hợp của hàng trăm ví dụ về việc giải quyết các vấn đề cụ thể, mà không cần bất kỳ bằng chứng.

Là một khoa học có hệ thống về hình học phát triển ở Hy Lạp cổ đại. Ngay từ thế kỷ thứ ba trước Công nguyên đã có một nguồn cung cấp lớn các sự kiện và các phương pháp chứng cứ. Tuy nhiên, có nảy sinh vấn đề đủ rộng để tóm tắt các tài liệu hình học thu thập được. Cô đã cố gắng để giải quyết Hippocrates Fedii và nhà triết học Hy Lạp cổ đại khác. Tuy nhiên, một cách logic xác nhận hệ thống khoa học chỉ có khoảng 300 năm trước Công nguyên. e. với việc công bố "Principia".

Ai là Euclid

Hy Lạp cổ đại đã cho thế giới nhiều nhà triết học vĩ đại nhất và các nhà khoa học. Một trong số đó là Euclid, người đã trở thành người sáng lập của trường Alexandria của toán học. Thông tin về các nhà khoa học thực tế không có gì được biết đến. Một số nguồn tin cho rằng người cha tương lai trẻ của hình học hiện đại nghiên cứu ở trường nổi tiếng của Plato ở Athens, và sau đó quay trở lại Alexandria, nơi ông tiếp tục nghiên cứu toán học và quang học, cũng như sáng tác âm nhạc. Trong thành phố quê hương của ông, ông thành lập một trường học, nơi, cùng với các sinh viên và tạo ra tác phẩm nổi tiếng của mình, mà trong hơn hai ngàn năm là cơ sở cho bất kỳ cuốn sách giáo khoa về hình học phẳng và hình học vững chắc.

"Elements" của Euclid

Công việc hệ thống chính và đầu tiên nhất về hình học bao gồm 13 tập. Những cuốn sách đầu tiên bốn thứ sáu đối phó với hình học phẳng, và 11, 12 và 13 - hình học vững chắc. Đối với các khối lượng khác, họ là dành cho số học, mà là từ quan điểm của định đề hình học.

Vai trò của công việc chính của Euclid trong sự phát triển tiếp theo của khoa học toán học không thể được đánh giá quá cao. danh sách còn tồn tại giấy cói một số bản gốc, cũng như bản thảo Byzantine.

Trong thời Trung cổ, "Elements" của Euclid đã được nghiên cứu chủ yếu bởi người Ả Rập, người xem xét một trong những tác phẩm vĩ đại nhất của tư tưởng con người và khoa học của Damascus. Mãi về sau những tác phẩm quan tâm những người châu Âu. Với sự ra đời của in khoa học, bao gồm cả hình học Euclide không còn được biết đến chỉ để đắc cử. Sau khi ấn bản đầu tiên vào 1533. "Elements" có sẵn để tất cả những ai muốn hiểu thế giới, và có nhiều và nhiều hơn nữa mỗi năm. Nhu cầu đã tạo ra nguồn cung cấp, vì vậy người ta tin rằng công việc này là lần thứ hai hầu hết đọc rộng rãi trong các di tích của thời cổ đại sau Kinh Thánh.

một số tính năng

Các yếu tố "" mô tả các thuộc tính metric của không gian ba chiều, trống rỗng, vô hạn và đẳng hướng, mà thường được gọi là Euclide. Nó được coi là một trường hợp có hiện tượng vật lý cổ điển của Galileo và Newton.

đối tượng hình học tiểu học, theo Euclid, là điểm. Khái niệm quan trọng thứ hai - tính vô hạn của không gian, được đặc trưng bởi ba định đề đầu tiên. Thứ tư liên quan đến bình đẳng của vuông góc với nhau. Đối với các định đề thứ năm của Euclid, sau đó nó quyết định tính chất và hình học của không gian Euclide.

Theo các nhà khoa học, cổ điển hình học cha đã tạo ra một cuốn sách giáo khoa hoàn hảo, nghiên cứu trong đó loại trừ bất kỳ sự hiểu lầm của vật liệu vì cách trình bày của mình. Đặc biệt, mỗi khối lượng của yếu tố "" bắt đầu với định nghĩa của các khái niệm gặp lần đầu tiên. Đặc biệt, từ những trang đầu tiên của cuốn sách 1 người đọc biết rằng một điểm, đường thẳng, thẳng và vân vân. Trong tổng số đó có 23 định nghĩa cần thiết cho sự hiểu biết về các quy định chính của vật liệu được trình bày trong tác phẩm nền tảng này.

4 tiên đề đầu tiên và định đề Euclid

Sau khi một tác giả của "yếu tố" cung cấp kết quả được chấp nhận không có bằng chứng. Những ông chia thành các tiên đề và định đề. Nhóm đầu tiên gồm 11 báo cáo rằng người đàn ông được biết đến bằng trực giác. Ví dụ, 8 tiên đề rằng toàn bộ lớn hơn các phần, và theo hai đại lượng đầu tiên, ngoài bằng ba, tương đương với nhau.

Bên cạnh đó, 5 gây Euclid mặc nhiên. Bốn đầu tiên đọc như sau:

• từ bất kỳ điểm đến nào khác, bạn có thể vẽ một đường thẳng;
• từ bất kỳ trung tâm của tất cả các bán kính là có thể để mô tả một vòng tròn;
• dòng hạn chế có thể kéo dài liên tục trong một đường thẳng;
• tất cả các góc vuông đều bình đẳng.

định đề thứ năm của Euclid

Trong hơn hai thiên niên kỷ, tuyên bố này liên tục trở thành đối tượng của sự chú ý của các nhà toán học. Nhưng trước tiên, chúng tôi làm quen với nội dung của định đề thứ năm của Euclid. Vì vậy, trong việc xây dựng hiện đại, nó có vẻ như thể trên một chiếc máy bay tại giao điểm của hai thẳng một chiều-sum thứ ba của các góc nội thất nhỏ hơn 180 °, sau đó những dòng này trong khi tiếp tục sớm hay muộn đáp ứng về phía đó mà số lượng này (số tiền) nhỏ hơn 180 °.

định đề thứ năm của Euclid, đó là cách diễn đạt trong các nguồn khác nhau là khác nhau ngay từ đầu gây ra các môn thể thao và muốn dịch nó vào loại lý bằng cách xây dựng một cách âm. Bằng cách này, nó thường được thay thế bằng biểu hiện khác, trên thực tế, phát minh bị nguyền rủa và còn được gọi là tiên đề của Playfair. Nó đọc như sau: trên một chiếc máy bay thông qua một điểm đó không thuộc về một dòng nhất định có thể giữ một và chỉ một đường thẳng song song này.

ngôn ngữ

Như đã đề cập, nhiều nhà khoa học đã cố gắng khác nhau thể hiện các ý tưởng của các định đề thứ 5 của Euclid. Nhiều công thức là khá rõ ràng. Ví dụ:

• dòng hội tụ giao nhau;
• có ít nhất một hình chữ nhật, có nghĩa là, 4 hình vuông với bốn góc vuông;
• mỗi nhân vật có thể được tăng lên tương ứng;
• có một hình tam giác có bất kỳ, khu vực tùy tiện lớn.

thiếu sót

hình học Euclide là công trình toán học vĩ đại nhất của thời cổ đại và cho đến thế kỷ 19, nó bao trùm không bị thách thức trong toán học. Mặc dù vậy, một số thiếu sót của nó đã được ghi nhận ngay cả bởi những người đương thời của tác giả, và học giả Hy Lạp cổ đại, người đã sống phần nào sau đó. Đặc biệt, nó đã bổ sung thêm một tiên đề Archimedes mới, mang tên ông. Nó nói có một số nguyên n, đó là n · [AB]> [CD] cho tất cả các phân đoạn AB và CD.

Bên cạnh đó, các nhà khoa học đã tìm cách giảm thiểu các hệ thống tiên đề Euclide và định đề. Để làm điều này, họ mất một số trong số họ ra khỏi phần còn lại.

Vì vậy, nó quản lý để "thoát khỏi" của định đề thứ 4 của sự bình đẳng giữa vuông góc. Đối với ông, một bằng chứng khắt khe đã được tìm thấy, vì vậy ông chuyển đến các chủng loại lý.

Lịch sử 5 định đề ở cổ và thời Trung cổ đầu

Việc xây dựng cổ điển của tuyên bố hình học Euclide này dường như ít nhiều rõ ràng hơn so với bốn người kia. Đó là thực tế này các nhà toán học đã ám ảnh.

Các trở ngại cho các định đề Euclide thứ năm là định nghĩa của xử lý song song của hai dòng a, b, nói rằng tổng của hai góc đơn phương được hình thành bởi các giao điểm của a và b một phần ba đường thẳng c, tương đương với 180 độ.

Các nỗ lực đầu tiên để chứng minh điều đó như một định lý đã được thực hiện bởi các hình học Hy Lạp cổ đại Posidonius. Ông đề nghị phải xem xét một song song trực tiếp với mặt phẳng của bộ tất cả các điểm mà cách đều từ bản gốc. Tuy nhiên, ngay cả điều này đã không cho phép Posidonius tìm thấy bằng chứng 5th định đề.

Cũng không phải không có kết quả và những nỗ lực của các nhà toán học khác, trong đó có từ thời trung cổ, chẳng hạn như người Ả Rập ibn Korra và Khayyam. Điều duy nhất mà đã đạt được - sự xuất hiện của định đề mới, có thể được chứng minh dựa trên các giả định khác nhau.

Trong nhiều thế kỷ 18-19 thứ

hình học cổ điển tiếp tục được quan tâm trong toán học và trong thế kỷ 18. Đặc biệt, đủ gần với định đề song song bằng chứng có thể đến Pháp nhà toán học A. Legendre. Ông đã viết một cuốn sách giáo khoa xuất sắc "Các yếu tố của hình học", đó là khoảng 150 năm là hiệu trưởng của giảng dạy toán học tại các trường Đế quốc Nga. Trong đó các nhà khoa học đã đưa ra ba lựa chọn chứng minh tiên đề song song Euclide, nhưng tất cả đều hóa ra là không chính xác.

Đến đầu thế kỷ 19, ý tưởng của việc tạo ra một hình học phi Euclide. Các mô tả đầu tiên của hệ thống, không phụ thuộc vào định đề thứ năm, dẫn đầu một công binh J. Bolyai. Tuy nhiên, ông đã sợ hãi của sự khám phá của mình và đã không theo đuổi các ý tưởng, tin tưởng nó sai. Thành công đã không thể đạt được và nhà toán học vĩ đại người Đức Gauss.

bước đột phá

Trong hơn 2000 năm của định đề thứ năm của Euclid, bằng chứng trong đó đã cố gắng để tìm thấy hàng trăm nhà khoa học, vẫn là vấn đề số một trong toán học. Bước đột phá làm nhà toán học Nga NI Lobachevsky. Đối với ông thế giới đầu tiên được quản lý để mô tả các thuộc tính của không gian thực, chứng minh rằng hình học Euclide "công trình" chỉ trong trường hợp đặc biệt của hệ thống của mình.

N. I. Lobachevsky ban đầu đi xuống con đường giống như của các đồng nghiệp của mình. Đang cố gắng để chứng minh định đề thứ 5, ông đã không thành công. Sau đó, các nhà khoa học từ chối đại diện Euclide, theo đó các góc của một tam giác tổng bằng 180 độ. Tiếp theo, ông đã cố gắng để chứng minh khẳng định điều này bằng cách mâu thuẫn và có một từ ngữ mới cho định đề thứ năm. Bây giờ, ông thừa nhận sự tồn tại của một vài dòng song song với điều này, và đi qua một điểm nằm ngoài dòng này.

hình học mới

Nó làm cho không có ý nghĩa để thảo luận về những người đã thực hiện hơn đối với toán học. Vai trò của Euclid và Lobachevsky ảnh hưởng có thể so sánh về sự hình thành và phát triển của Newton và vật lý của Einstein. Đồng thời, mới, hình học tuyệt đối có thể coi khái niệm về không gian, phá vỡ đi từ phương pháp cổ điển "có thể hiểu chỉ những gì có thể đo được." Nhưng một cách tiếp cận như vậy thực hành trong khoa học hàng ngàn năm nay.

Thật không may, những ý tưởng của Lobachevskii hình học không được chấp nhận và hiểu bởi cùng thời với ông. Đặc biệt, sinh viên của ông không được tiếp tục công việc của các nhà khoa học, và sự phát triển của hình học phi Euclide đã bị trì hoãn trong nhiều thập kỷ.

Một số tính năng của lý thuyết Lobachevskii

Để hiểu được những hình học mới, nó là cần thiết để xem xét tính vô hạn của vũ trụ. Trên thực tế, rất khó để tưởng tượng rằng sự rộng lớn của vũ trụ là tổng của không gian tuyến tính.

hình học Lobachevsky được sử dụng để mô tả không gian cong mà được tạo ra bởi các trường hấp dẫn của các thiên hà. Cô được phép khởi hành từ phương pháp của sự chú ý của tất cả các con số này với "về đúng" xi lanh, hình tròn, hình chóp, hoặc bất kỳ sự kết hợp của những hình dạng. Đối với, ví dụ, trong thực tế, hành tinh của chúng ta - không có bóng, và geoid, ví dụ, một nhân vật mà là thu được bằng đường nét đường viền ngoài của thạch quyển (vỏ cứng) của Trái đất ...

Trong cuộc sống thực, cũng có chất tương tự của không gian cong của vũ trụ, cho phép để giới thiệu khả năng của sự tồn tại của nhiều đường song song của việc thông qua thông qua cùng một điểm. Cụ thể, bề mặt cong này của ba loại đó được phân bổ Geometer Ý Beltrami và đặt tên là E. pseudosphere.

Tiếp tục phát triển các lý thuyết của Lobachevsky

Nổi bật của Nga không phải là người duy nhất không phải là nghĩa tuyệt đối của hình học Euclide. Đặc biệt, các nhà toán học Riemann vào năm 1854 đưa ra ý tưởng về khả năng của sự tồn tại của không gian bằng không, độ cong dương và âm. Điều này có nghĩa rằng bạn có thể tạo một số lượng vô hạn của hình học phi cổ điển khác nhau.

Vào vị trí Riemann, người đã nghiên cứu chủ yếu là không gian với độ cong dương tính, các định đề thứ 5 của Euclid âm thanh khá bất ngờ. Theo ý tưởng của mình, thông qua một điểm ngoài một đường thẳng cho trước không thể giữ bất kỳ đường song song này.

Hoàn toàn khác là trường hợp với số không gian, độ cong tiêu cực và tích cực của lý thuyết của Klein. Đặc biệt, trong trường hợp đầu tiên họ được mô tả bằng một hình học parabol, một trường hợp đặc biệt đó là cổ điển, thứ hai - vâng theo ý tưởng Lobachevskian, và thứ ba - phù hợp với những mô tả bởi Riemann.

Sau khi công bố Alberta Eynshteyna Thuyết Tương Đối, việc nộp không gian như bổ sung cho dữ liệu mà đưa vào tài khoản sự tồn tại của Bốn phép đo phụ thuộc lẫn nhau và thay đổi - trọng lượng, sức mạnh, tốc độ và thời gian.

trong thực tế

Nếu bạn đi đến nhận thức của con người không gian bên trong quỹ đạo Trái đất khổng lồ hình tam giác lớn nhất có thể của độ lệch có thể có của tổng các góc bên trong của 180 độ cổ điển làm cho chỉ có bốn phần triệu của một giây. Giá trị này là vượt quá khả năng của homo sapiens, vì vậy "trần thế" Nhu cầu là Euclid.

Nó vẫn còn phải chờ cho đến khi điều kiện được tạo ra cho phép để có được dữ liệu thực nghiệm để xác nhận hoặc bác bỏ các lý thuyết của N. Lobachevsky và Riemann trên khắp thiên hà.

Bây giờ bạn biết rằng tuyên bố định đề thứ năm của Euclid và lịch sử của nó, mà là rất bài học, và cho phép chúng ta theo dõi sự phát triển của tâm trí con người trong vòng 2300 năm qua.