Đạo hàm của sin của góc bằng cosin của góc cùng

Dana chức năng lượng giác đơn giản y = Sin (x), là khả vi tại mỗi điểm của toàn bộ miền. Chúng ta phải chứng minh rằng đạo hàm của sin của bất kỳ đối số là tương đương với cosin của góc cùng, có nghĩa là, '= Cos (x).

Bằng chứng là dựa trên định nghĩa của một hàm phái sinh

Chúng tôi xác định x (tùy ý) ở một số khu phố nhỏ của một điểm cụ thể x Δh _0. Chúng tôi sẽ hiển thị các giá trị hàm trong nó, và tại điểm x để tìm thặng dư của một chức năng nhất định. Nếu Δh - lập luận tăng lên, lập luận mới - x này ₀ + Δx = x, giá trị của chức năng này cho một giá trị nhất định của đối số (x) là bằng Sin (x ₀ + Δx), giá trị hàm tại một điểm cụ thể (x ₀₎ còn được gọi .

Bây giờ chúng ta có Δu = Sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - chức năng tăng thu được.

Theo công thức của tổng sin của hai góc bất bình đẳng, chúng tôi sẽ chuyển đổi sự khác biệt Δu.

Δu = Sin (x ₀₎ · Cos (Δh) + Cos (x ₀₎ · Sin (Δx) trừ đi Sin (x ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (Δh).

về hoán vị thực hiện phân nhóm đầu tiên Sin thứ ba (x _0), đưa ra khỏi các yếu tố chung - sin - các dấu ngoặc đơn. Chúng tôi đã nhận trong biểu thức Cos chênh lệch (Δh) -1. Nó trái để thay đổi các dấu hiệu ở phía trước của ngoặc và dấu ngoặc đơn. Hiểu biết những gì là 1-Cos (Δh), chúng tôi thực hiện thay đổi và có được một biểu thức đơn giản hóa Δu, sau đó được chia cho Δh.
Δu / Δh sẽ có dạng: Cos (x ₀₎ · Sin (Δh) / Δh 2 · Sin ² (0,5 x Δh) · Sin (x ₀₎ / Δh. Đây là tỷ lệ thặng dư của hàm để kết nạp vào tăng của đối số.

Nó vẫn còn để tìm giới hạn của tỷ lệ thu được bằng cách chúng tôi trong suốt lim Δh, chăm sóc về không.

Được biết, giới hạn Sin (Δh) / Δx là bằng 1, dưới điều kiện. Và biểu thức 2 · Sin ² (0,5 x Δh) / Δh trong kết quả tổng hợp biến đổi đặc biệt đối với sản phẩm có chứa như giới hạn đáng kể số nhân đầu tiên: tử số của phân số và znemenatel chia cho 2, bậc hai của sin thay thế sản phẩm. Đây là cách:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Giới hạn của biểu thức này khi Δh có xu hướng không, sẽ là bằng với số không (0 nhân với 1). Nó chỉ ra rằng giới hạn của tỷ lệ Δy / Δh là Cos (x ₀₎ · 1-0, điều này được Cos (x _0), khái niệm trong số đó là phụ thuộc vào Δh xu hướng 0. Kết luận: đạo hàm của sin của bất kỳ góc bằng x cosin của x, có thể được viết như sau: y '= Cos (x).

Công thức kết quả được liệt kê trong bảng của các dẫn xuất nổi tiếng, nơi mà tất cả các chức năng cơ bản

Trong việc giải quyết vấn đề này, nơi anh gặp đạo hàm của sin, bạn có thể sử dụng các quy tắc của sự khác biệt và công thức làm sẵn của bảng. Ví dụ: tìm đạo hàm của hàm y đơn giản nhất = 3 · Sin (x) -15. Chúng tôi sử dụng các quy tắc nguồn gốc loại bỏ yếu tố số tiểu cho dấu hiệu của đạo hàm và tính hằng số dẫn xuất (đó là zero). Áp dụng một giá trị bảng sin của đạo hàm của góc x Cos bằng nhau (x). Nhận câu trả lời: y '= 3 · Cos (x) -O. phái sinh này, đến lượt nó, cũng là một chức năng tiểu y = H · Cos (x).

Đạo hàm của sin bình phương của bất kỳ tranh cãi

Trong tính toán của biểu thức (Sin ² (x)) 'phải nhớ chức năng phức tạp như thế nào phân biệt. Vì vậy, ² = Sin (x) - là một chức năng điện như sin bình phương. đối số của nó cũng là một hàm lượng giác, một lập luận phức tạp. Kết quả trong trường hợp này là tương đương với sản phẩm của các nhân đầu tiên là một hình vuông của đạo hàm phức tạp của các đối số, và thứ hai - đạo hàm của sin. Dưới đây là các quy tắc để phân biệt một hàm của một hàm: (u (v (x))) 'được (u (v (x)))' · (v (x))'. Biểu hiện của v (x) - một lập luận phức tạp (chức năng nội bộ). Nếu chức năng cho "y bằng sin bình phương x", sau đó đạo hàm của hàm hợp này là y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). Các sản phẩm của các nhân đầu tiên tăng gấp đôi - bắt nguồn từ tiếng hàm mũ, và Cos (x) - xoang hàm lập luận phức tạp của hàm bậc hai. Kết quả cuối cùng có thể được chuyển bằng cách sử dụng công thức của sin lượng giác của góc kép. A: Các phái sinh là Sin (2 · x). Công thức này là dễ nhớ, nó thường được sử dụng như một bảng.