Nghịch lý Russell: thông tin cơ bản, ví dụ, xây dựng

Russell nghịch lý là hai phụ thuộc lẫn nhau nghịch lý logic.

Hai hình thức nghịch lý Russell

Hình thức thường xuyên nhất thảo luận quan hệ mâu thuẫn trong bộ logic. Một số thiết lập có vẻ là chính các thành viên, và những người khác - không có. Tập hợp các bài tập là chính nó một bộ, vì vậy nó có vẻ như nó đề cập đến bản thân. Null hoặc trống rỗng, tuy nhiên, không phải là một thành viên của chính nó. Do đó, các thiết lập của tất cả các bộ, như zero không được đưa vào bản thân. Nghịch lý phát sinh khi câu hỏi liệu tập các thành viên của chính nó. Điều này có thể khi và chỉ khi nó không phải là.

Một nghịch lý dưới hình thức là một mâu thuẫn liên quan đến tài sản. Một số khách sạn, dường như đề cập đến bản thân, trong khi những người khác thì không. bất động sản là tài sản riêng của mình là một tài sản, trong khi tài sản có thể là một con mèo thì không. Hãy xem xét các tài sản của việc có một tài sản đó không thuộc về anh ấy. nếu nó áp dụng cho bản thân? Một lần nữa, bất kỳ giả định nên điều ngược lại. Nghịch lý được đặt tên để vinh danh Bertrand Russell (1872-1970), người phát hiện ra nó vào năm 1901.

câu chuyện

Mở Russell xảy ra trong công việc của mình trên "Nguyên tắc Toán học". Mặc dù ông đã khám phá ra nghịch lý một cách độc lập, có bằng chứng cho thấy các nhà toán học khác và các nhà phát triển của lý thuyết tập hợp, bao gồm Ernst Zermelo và David Hilbert, đã nhận thức được những phiên bản đầu tiên của mâu thuẫn trước mặt Ngài. Russell, tuy nhiên, là người đầu tiên thảo luận chi tiết các nghịch lý trong tác phẩm xuất bản của mình, đầu tiên cố gắng để xây dựng các giải pháp và là người đầu tiên đánh giá đầy đủ ý nghĩa của nó. Cả một chương của "Nguyên tắc" đã được dành cho việc thảo luận về vấn đề này, và các ứng dụng đã được dành cho các lý thuyết về chủng loại, mà Russell đề xuất như là một giải pháp.

Russell đã khám phá ra "nghịch lý của kẻ nói dối', xem xét lý thuyết tập hợp của Cantor mà nói rằng sức mạnh của bất kỳ tập là nhỏ hơn so với các thiết lập của tập con của nó. Ít nhất trong miền nên càng nhiều các tập con như có những yếu tố trong nó, nếu một tập hợp con của mỗi phần tử được thiết lập chỉ chứa yếu tố này. Bên cạnh đó, Cantor đã chứng minh rằng số phần tử không thể được tính bằng số lượng các tập con. Nếu có cùng một số, nó sẽ phải tồn tại ƒ tính năng mà sẽ hiển thị các yếu tố trên tập con của họ. Đồng thời nó có thể được chứng minh rằng điều này là không thể. Một số mặt hàng có thể được hiển thị trên các tập con các chức năng ƒ có chứa chúng, trong khi những người khác có thể không.

Hãy xem xét các tập hợp con của các yếu tố đó không thuộc về hình ảnh của họ, trong đó họ hiển thị ƒ. Nó chính là một tập hợp con của các yếu tố, và do đó, ƒ chức năng sẽ hiển thị nó trên một phần tử trong miền. Vấn đề là sau đó câu hỏi đặt ra là liệu các yếu tố này thuộc về các tập hợp con mà nó sẽ hiển thị ƒ. Đây là chỉ có thể nếu nó không thuộc về. Nghịch lý Russell có thể được coi là một ví dụ về cùng một dòng lý luận, chỉ đơn giản hóa. Hơn thế nữa - các bộ hoặc các tập con của tập? Nó sẽ có vẻ rằng cần có nhiều bộ, như tất cả các tập con của tập hợp bản thân. Nhưng nếu định lý Cantor là đúng, thì cần có nhiều hơn các tập con. Russell coi chỉ hiển thị bộ về bản thân và áp dụng cách tiếp cận kantoriansky xem xét các thiết lập của tất cả những yếu tố này, ngoài một bộ, trong đó họ được hiển thị. Hiển thị Russell trở thành các thiết lập của tất cả các bộ, một tổ chức phi.

lỗi Frege

"Nghịch lý của kẻ nói dối" đã có tác động sâu sắc đến sự phát triển lịch sử của lý thuyết tập hợp. Ông chỉ ra rằng các khái niệm về các thiết lập phổ biến là rất có vấn đề. Ông cũng đặt câu hỏi về quan điểm cho rằng đối với mỗi điều kiện xác định hoặc vị ngữ có thể giả định sự tồn tại của một đa số chỉ có những điều mà đáp ứng điều kiện này. Lựa chọn nghịch lý liên quan đến bất động sản - một phần mở rộng tự nhiên để các bộ phiên bản - nâng nghi ngờ nghiêm trọng về việc liệu chúng ta có thể tranh luận về sự tồn tại khách quan của một tài sản hoặc một phù hợp phổ biến cho mỗi quyết định bởi điều kiện, hoặc vị ngữ.

Liền sau đó, mâu thuẫn, vướng mắc trong công việc của các nhà luận lý học đã được tìm thấy, các nhà triết học và nhà toán học người đã thực hiện các giả định tương tự. Năm 1902, Russell phát hiện ra rằng một biến thể của nghịch lý có thể được thể hiện bằng một hệ thống hợp lý, phát triển trong Tập I của "Foundations of số học" Gottlob Frege, một trong những công trình chính trên logic của cuối XIX - đầu thế kỷ XX. Trong triết lý của Frege nhiều hiểu như là một "mở rộng" hoặc "giá trị tầm" khái niệm. Các khái niệm là gần nhất với những tương quan. Họ dự kiến sẽ tồn tại cho bất kỳ điều kiện nhất định hoặc vị ngữ. Như vậy, có một khái niệm về một bộ, mà không thuộc khái niệm định nghĩa của nó. Ngoài ra còn có một lớp được định nghĩa bởi khái niệm này, và nó phụ thuộc vào việc xác định khái niệm của nó chỉ khi nó không phải là.

Russell đã viết thư cho Frege về cuộc xung đột này trong tháng 6 năm 1902 Thư đã trở thành một trong những thú vị nhất và được nói đến trong lịch sử của logic. Frege ngay lập tức nhận ra những hậu quả tai hại của nghịch lý. Ông lưu ý, tuy nhiên, phiên bản của những tranh cãi liên quan đến các tính chất trong triết học của ông đã được giải quyết bằng cách phân biệt giữa các khái niệm về cấp độ.

khái niệm của Frege hiểu như là sự chuyển đổi từ các đối số của hàm thành TRUE. Các khái niệm cấp độ đầu tiên tham gia như các đối số các đối tượng của các khái niệm mức độ thứ hai lấy làm đối số cho các chức năng này, và vân vân. Như vậy, khái niệm không bao giờ có thể lấy chính nó như là một cuộc tranh cãi, và nghịch lý về các thuộc tính không thể được xây dựng. Tuy nhiên bộ, mở rộng hoặc khái niệm Frege hiểu như đề cập đến kiểu logic giống như của tất cả các đối tượng khác. Sau đó, cho mỗi bộ có một câu hỏi cho dù đó thuộc các khái niệm về định nghĩa nó.

Khi Frege, Russell nhận được chữ cái đầu tiên, khối lượng thứ hai của "Foundations of số học" đã được hoàn thành in. Ông đã buộc phải nhanh chóng chuẩn bị một ứng dụng cung cấp cho một câu trả lời cho nghịch lý của Russell. Ví dụ Frege chứa một số giải pháp khả thi. Tuy nhiên, ông đi đến kết luận để làm suy yếu các khái niệm về bộ trừu tượng trong một hệ thống logic.

Trong bản gốc, nó đã có thể kết luận rằng đối tượng thuộc về các thiết lập khi và chỉ khi nó nằm trong khái niệm, định nghĩa nó. Hệ thống điều chỉnh chỉ có thể kết luận rằng đối tượng thuộc về các thiết lập khi và chỉ khi nó nằm trong khái niệm về việc xác định một đa số, nhưng không được thiết lập trong câu hỏi. Nghịch lý Russell phát sinh.

Các giải pháp, tuy nhiên, không hoàn toàn hài lòng với Frege. Và đây là lý do. Vài năm sau đó, hình thức phức tạp hơn trong những mâu thuẫn đã được tìm thấy cho hệ thống điều chỉnh. Nhưng ngay cả trước khi điều này xảy ra, Frege bỏ quyết định của mình và dường như đi đến kết luận rằng cách tiếp cận của ông là chỉ đơn giản là không khả thi, và logic rằng sẽ phải làm mà không cần bất kỳ bộ.

Tuy nhiên những người khác đã được đề xuất, giải pháp thay thế tương đối thành công hơn. Đây là những thảo luận dưới đây.

Lý thuyết các loại

Nó đã được ghi nhận ở trên rằng Frege là một phản ứng thích hợp để những nghịch lý của lý thuyết tập hợp trong phiên bản xây dựng đối với tài sản. phản ứng của Frege đã được đi trước bởi giải pháp thường xuyên nhất thảo luận để hình thức nghịch lý. Nó được dựa trên thực tế là các thuộc tính này tùy thuộc vào các loại khác nhau và những gì loại tài sản không bao giờ giống như các mặt hàng mà nó đề cập.

Như vậy, không phải ngay cả những câu hỏi đặt ra, cho dù tài sản được áp dụng cho bản thân. ngôn ngữ logic, mà tách các yếu tố của một hệ thống như vậy, sử dụng các lý thuyết về các loại. Mặc dù nó đã được sử dụng bởi Frege, lần đầu tiên nó được giải thích đầy đủ và minh Russell trong Phụ lục của các "nguyên tắc". Các lý thuyết về các loại đã được hoàn tất hơn sự phân biệt các cấp Frege. Cô chia sẻ tài sản này không chỉ loại khác nhau của logic, mà còn thiết lập. gõ lý thuyết để giải quyết các mâu thuẫn trong những nghịch lý của Russell sau.

Để trở thành một triết lý đầy đủ, việc áp dụng các lý thuyết của các loại tài sản đòi hỏi sự phát triển của lý thuyết về bản chất của các thuộc tính để có thể giải thích lý do tại sao họ không thể được áp dụng cho bản thân. Thoạt nhìn, nó làm cho tinh thần để predicate tài sản riêng của họ. Tài sản của bị tự nhận dạng, nó sẽ có vẻ, nó cũng là một bản sắc. Khu nghỉ dưỡng có vẻ là một thú vị thoải mái. Trong cùng một cách, rõ ràng, có vẻ như sai để nói rằng tài sản trở thành một con mèo là một con mèo.

Tuy nhiên, các nhà tư tưởng khác nhau chứng minh các bộ phận của các loại khác nhau. Russell thậm chí đã giải thích khác nhau vào những thời điểm khác nhau trong sự nghiệp của mình. Về phần mình, lý do cho việc tách các khái niệm khác nhau về mức độ Frege xuất phát từ lý thuyết của ông về khái niệm không bão hòa. Các khái niệm như chức năng, trong bản chất, không đầy đủ. Để cung cấp giá trị, họ cần một cuộc tranh cãi. Bạn có thể không chỉ là một khái niệm để predicate khái niệm cùng loại, bởi vì nó vẫn đòi hỏi đối số của nó. Ví dụ, mặc dù nó có thể lấy căn bậc hai của căn bậc hai của một số, bạn không thể chỉ sử dụng một hàm căn bậc hai với chức năng căn bậc hai và có được một kết quả.

Về tính chất bảo thủ

Một giải pháp khả thi là các tính chất nghịch lý tính phủ định sự tồn tại dưới bất kỳ điều kiện nào đó, hoặc một vị well-formed. Tất nhiên, nếu ai đó cũng tránh tính chất siêu hình của cả hai yếu tố khách quan và độc lập như một toàn thể, nếu chúng ta hãy duy danh nghịch lý có thể tránh được hoàn toàn.

Tuy nhiên, để giải quyết nghịch lý không cần phải quá khắc nghiệt. Logic hệ thống bậc cao phát triển Frege và Russell, chứa những gì được gọi là nguyên tắc khái niệm, theo đó mỗi mở công thức bất kể như thế nào phức tạp tồn tại như một phần của một tài sản hay khái niệm ví dụ, chỉ những mục phù hợp với công thức. Họ áp dụng cho các thuộc tính của mỗi bộ có thể xảy ra điều kiện hoặc các vị từ, bất kể họ là như thế nào phức tạp.

Tuy nhiên, nó đã có thể để có một đặc tính siêu hình học chặt chẽ hơn, đem lại cho đúng để sự tồn tại khách quan của tính đơn giản, bao gồm, ví dụ, chẳng hạn như màu đỏ, độ cứng, lòng tốt và vân vân. D. Bạn thậm chí có thể để cho các đặc tính này áp dụng đối với bản thân, chẳng hạn như lòng tốt có thể đối xử tốt.

Và tình trạng tương tự cho các thuộc tính phức tạp có thể bị từ chối, ví dụ, chẳng hạn "tài sản" là có mười bảy người đứng đầu, được viết dưới nước và những thứ tương tự. D. Trong trường hợp này, không có điều kiện xác định trước không đáp ứng được tài sản, hiểu như riêng yếu tố, trong đó có đặc tính riêng của mình hiện có. Như vậy ai có thể phủ nhận sự tồn tại của các thuộc tính đơn giản được-hữu-mà-không-áp dụng của bản thân và tránh nghịch lý bằng cách áp dụng tính chất siêu hình dè dặt hơn.

Nghịch lý Russell: giải pháp

Trên nó đã được ghi nhận rằng vào cuối của cuộc đời mình Frege hoàn toàn bị bỏ rơi logic của bộ. Điều này, tất nhiên, một giải pháp cho nghịch lý theo hình thức tập hợp: a từ chối đơn giản về sự tồn tại của các yếu tố như một toàn thể. Bên cạnh đó, có những lựa chọn phổ biến khác, những điều cơ bản trong số đó được hiển thị dưới đây.

Lý thuyết cho nhiều loại

Như đã đề cập trước đó, Russell chơi cho một lý thuyết hoàn chỉnh hơn về các loại, những người sẽ chia sẻ không chỉ là tài sản hoặc các khái niệm với các loại khác nhau, mà còn thiết lập. Russell chia sẻ thiết lập trên một đa số bộ phận riêng biệt, được đa số bộ của các đối tượng riêng biệt, vv bộ của các đối tượng không được xem xét, và được đa số bộ - .. Bộ. Rất nhiều bao giờ được hưởng các loại, cho phép bạn có là thành viên của chính nó. Do đó không có bộ của tất cả các bộ mà không phải là thành viên của riêng nó, bởi vì đối với bất kỳ tập hợp các câu hỏi về việc liệu nó là như một thành viên, bản thân nó là một loại vi phạm. Một lần nữa, vấn đề ở đây là để giải thích các bộ siêu hình học để giải thích những nền tảng triết học của việc phân chia thành các loại.

phân tầng

Trong năm 1937, V. V. Kuayn đã đề nghị một giải pháp thay thế, theo một cách tương tự như lý thuyết về các loại. thông tin cơ bản về nó đang có.

Bộ lọc tách và những người khác yếu tố. Made để giả định về việc tìm kiếm một đa số luôn luôn là không chính xác hoặc vô nghĩa. Bộ chỉ có thể được cung cấp khi xác định điều kiện của họ không phải là một loại vi phạm. Như vậy, đối với Quine, khái niệm "x không là thành viên của x" là báo cáo kết quả có ý nghĩa nào không bao hàm sự tồn tại của các thiết lập của tất cả các yếu tố x thỏa mãn điều kiện này.

Trong hệ thống này một bộ tồn tại đối với một số công thức mở Một khi và chỉ khi nó được phân tầng, t. E. Nếu các biến được gán các số nguyên dương như vậy mà cho mỗi lần xuất hiện đặc trưng của một đa số trước nó biến được gán đơn vị phân nhỏ hơn so với biến, sau ông. Nghịch lý này khối Russell, vì công thức dùng để xác định bộ vấn đề, có là như nhau trước và sau dấu thành viên biến làm cho nó unstratified.

Nhưng nó vẫn chưa xác định xem hệ thống kết quả, mà Quine gọi là "Nền tảng mới của logic toán học" phù hợp.

sự từ chối

Một cách tiếp cận hoàn toàn khác nhau được thực hiện trong các lý thuyết của Zermelo - Fraenkel (ZF). Ở đây cũng vậy, thiết lập một giới hạn về sự tồn tại của bộ. Thay vào đó, tiếp cận "từ trên xuống" của Russell và Frege, người ban đầu nghĩ rằng đối với tất cả các khái niệm, tính chất, hoặc điều kiện có thể gợi sự tồn tại của các thiết lập của tất cả mọi thứ với tài sản hoặc để đáp ứng một điều kiện như vậy, trong ZF-lý thuyết, mọi thứ bắt đầu "từ dưới lên".

yếu tố riêng lẻ của tập rỗng và hình thành một tập. Do đó, không giống như các hệ thống trước đó và Russell Frege FIT không thuộc về tập phổ quát bao gồm tất cả các yếu tố và thậm chí tất cả các bộ. ZF đặt giới hạn nghiêm ngặt về sự tồn tại của bộ. Chỉ có thể tồn tại những mà nó được mặc nhiên công nhận rõ ràng hoặc có thể được xây dựng bằng các phương tiện của các quá trình lặp đi lặp lại và những thứ tương tự. D.

Sau đó, thay vì tập ngây thơ khái niệm trừu tượng mà khẳng định rằng một yếu tố đặc biệt được bao gồm trong các thiết lập khi và chỉ khi nó đáp ứng các điều kiện theo nguyên tắc tách sử dụng DF, tách hoặc "sắp xếp". Thay vì giả định sự tồn tại của các thiết lập của tất cả các yếu tố đó là không có ngoại lệ đáp ứng một điều kiện nhất định, đối với mỗi thiết lập hiện tại Aussonderung chỉ ra sự tồn tại của một tập hợp con của tất cả các yếu tố trong bộ hồ sơ gốc mà thỏa mãn điều kiện.

Rồi đến nguyên tắc trừu tượng: nếu tập A tồn tại, sau đó, với mọi x trong A, x thuộc vào subset A, mà thỏa mãn điều kiện khi và chỉ khi x thỏa mãn điều kiện C. Phương pháp này giải quyết nghịch lý Russell, vì chúng ta không thể chỉ đơn giản là giả có nghĩa là, các thiết lập của tất cả các bộ mà không phải là thành viên của mình.

Có rất nhiều bộ, bạn có thể chọn hoặc chia nó thành bộ, đó là trong bản thân mình, và những người không như vậy, nhưng vì không có bộ phổ quát chúng ta không bị ràng buộc bộ của tất cả các bộ. Nếu không có giả định vấn đề đặt Russell mâu thuẫn không thể được chứng minh.

các giải pháp khác

Bên cạnh đó, đã có phần mở rộng tiếp theo hoặc sửa đổi của các giải pháp này, chẳng hạn như một ngã ba kiểu lý thuyết về "Nguyên tắc Toán học" mở rộng hệ thống "logic toán học" Quine, cũng như nhiều diễn biến gần đây trong lý thuyết tập hợp, làm Bernays, Godel và von Neumann. Các câu hỏi liệu việc ứng phó với những nghịch lý không hòa tan Bertrand Russell tìm thấy, vẫn còn là một vấn đề gây tranh cãi.