Chuỗi Fourier: lịch sử và ảnh hưởng của một cơ chế toán học đối với sự phát triển của khoa học

Các chuỗi Fourier là một đại diện của một chức năng tùy tiện thực hiện với một khoảng thời gian cụ thể trong các hình thức của một loạt. Nói chung, giải pháp này được gọi là sự mở rộng của một phần tử dọc theo cơ chế trực giao. Việc mở rộng các chức năng trong một loạt Fourier là một công cụ khá mạnh để giải quyết các vấn đề khác nhau do các tính chất của sự chuyển đổi nhất định trong sự hội nhập, sự phân biệt, và cũng là sự dịch chuyển của biểu thức đối số và chập.

Một người không quen thuộc với toán học cao hơn, và cũng với các tác phẩm của các nhà khoa học Pháp Fourier, rất có thể sẽ không hiểu những gì loại "hàng ngũ" được và cho những gì họ là cần thiết. Và sự biến đổi này đã trở nên khá dày đặc trong cuộc sống của chúng ta. Nó được sử dụng không chỉ bởi các nhà toán học, mà còn bởi các nhà vật lý, nhà hóa học, bác sĩ, nhà thiên văn học, nhà địa chấn học, nhà hải dương học và nhiều người khác. Chúng ta hãy cùng làm quen với các tác phẩm của nhà khoa học người Pháp vĩ đại đã khám phá ra trước thời đại của mình.

Man và biến đổi Fourier

Fourier series là một trong những phương pháp (cùng với việc phân tích và những người khác) của biến đổi Fourier. Quá trình này diễn ra mỗi khi một người nghe một âm thanh. Tai của chúng tôi tự động chuyển đổi sóng âm thanh sang chế độ tự động . Các chuyển động rung động của các hạt cơ bản trong môi trường đàn hồi được phân ra thành các dãy (theo phổ) của các giá trị liên tiếp về mức độ ồn cho các tông màu khác nhau. Hơn nữa, não biến những dữ liệu này thành những âm thanh quen thuộc với chúng ta. Tất cả điều này xảy ra ngoài mong muốn hoặc ý thức của chúng ta, trong chính bản thân nó, nhưng để hiểu các quy trình này, sẽ mất vài năm để học toán cao hơn.

Thêm về biến đổi Fourier

Sự biến đổi Fourier có thể được thực hiện bằng các phương pháp phân tích, số liệu và các phương pháp khác. Loạt Fourier đề cập đến phương pháp phân số của bất kỳ quá trình rung động nào - từ triều đại và sóng ánh sáng đến các chu trình hoạt động của mặt trời (và những vật thiên văn khác). Sử dụng các kỹ thuật toán học này, bạn có thể phân tích các chức năng, đại diện cho bất kỳ quá trình dao động nào như là một loạt các thành phần hình sin, di chuyển từ tối thiểu đến tối đa và ngược lại. Biến đổi Fourier là một chức năng mô tả giai đoạn và biên độ của sinusoids tương ứng với một tần số nhất định. Quá trình này có thể được sử dụng để giải các phương trình rất phức tạp mô tả các quá trình năng động xảy ra dưới tác động của nhiệt, ánh sáng hoặc năng lượng điện. Fourier series cũng cho phép tách các thành phần liên tục trong các tín hiệu rung động phức tạp, điều này làm cho nó có thể giải thích chính xác những quan sát thực nghiệm thu được trong y học, hóa học, và thiên văn học.

Nền lịch sử

Cha đẻ của lý thuyết này là nhà toán học người Pháp Jean Baptiste Joseph Fourier. Tên của ông sau đó được gọi là sự chuyển đổi này. Ban đầu, nhà khoa học sử dụng phương pháp nghiên cứu và giải thích cơ chế dẫn nhiệt - sự truyền nhiệt trong chất rắn. Fourier cho rằng sự phân bố ban đầu không bình thường của sóng nhiệt có thể bị phân hủy thành các sinusoid đơn giản, mỗi chúng sẽ có nhiệt độ tối thiểu và tối đa của nó, cũng như pha của nó. Mỗi thành phần như vậy sẽ được đo từ mức tối thiểu đến tối đa và ngược lại. Chức năng toán học mô tả các đỉnh núi trên và dưới của đường cong, cũng như pha của mỗi sóng hài, được gọi là biến đổi Fourier của biểu thức cho sự phân bố nhiệt độ. Tác giả của lý thuyết đã làm giảm chức năng phân phối chung, rất khó mô tả về mặt toán học, tới một loạt các hàm cosin và sin định kỳ rất thuận tiện để xử lý, trong tổng cung cấp cho sự phân bố ban đầu.

Nguyên tắc chuyển đổi và quan điểm của những người cùng thời

Những người đương thời của những nhà toán học hàng đầu của khoa học vào đầu thế kỷ XIX đã không chấp nhận lý thuyết này. Phản đối chính là sự khẳng định Fourier rằng một hàm gián tiếp mô tả một đường thẳng hoặc một đường cong rách có thể được biểu diễn như là một tổng của các biểu thức sinusoidal liên tục. Ví dụ, chúng ta có thể xem xét "bước" của Heiside: giá trị của nó bằng 0 ở bên trái của sự gián đoạn và một ở bên phải. Chức năng này mô tả sự phụ thuộc của dòng điện vào biến thời gian khi mạch đóng lại. Những người đương thời của lý thuyết tại thời điểm đó không bao giờ gặp một tình huống tương tự, khi một biểu hiện gián đoạn sẽ được mô tả bởi sự kết hợp các chức năng liên tục, bình thường, như hàm số mũ, một sinusoid, tuyến tính hay bậc hai.

Điều gì xấu hổ các nhà toán học người Pháp trong lý thuyết về Fourier?

Rốt cuộc, nếu một nhà toán học đúng trong các bài phát biểu của mình thì khi tổng kết một chuỗi Fourier lượng giác vô hạn, người ta có thể có được một biểu diễn chính xác của biểu thức bước ngay cả khi nó có nhiều bước như vậy. Vào đầu thế kỷ XIX, một tuyên bố như vậy có vẻ vô lý. Nhưng bất chấp mọi nghi ngờ, nhiều nhà toán học đã mở rộng phạm vi nghiên cứu hiện tượng này, vượt xa các giới hạn của nghiên cứu về tính dẫn nhiệt. Tuy nhiên, hầu hết các nhà khoa học tiếp tục phải chịu đựng câu hỏi: "Liệu tổng của hàng sinusoid có thể hội tụ được với giá trị chính xác của hàm gián đoạn không?"

Sự hội tụ của chuỗi Fourier: một ví dụ

Câu hỏi về sự hội tụ được nêu ra mỗi khi nó là cần thiết để bổ sung số lượng vô hạn của các con số. Để hiểu hiện tượng này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ cổ điển. Bạn có bao giờ đạt được tường nếu mỗi bước tiếp theo là một nửa những người trước đây? Giả sử bạn ở vị trí hai mét so với mục tiêu, bước đầu tiên bạn sẽ đạt được đánh dấu nửa chừng, tiếp theo là đạt được 3/4, và sau lần thứ năm, bạn sẽ vượt qua được gần 97 phần trăm. Tuy nhiên, không có vấn đề bao nhiêu bước bạn thực hiện, bạn sẽ không đạt được mục tiêu theo ý nghĩa toán học một cách nghiêm ngặt. Sử dụng tính toán số, có thể thấy rằng cuối cùng có thể tiếp cận một khoảng cách tùy tiện nhỏ định trước. Bằng chứng này tương đương với chứng minh rằng tổng giá trị của một giây, một phần tư, vv, sẽ có xu hướng thống nhất.

Câu hỏi về sự hội tụ: thứ hai sắp tới, hoặc Thiết bị của Lord Kelvin

Lặp lại câu hỏi này đã được đưa ra vào cuối thế kỷ XIX, khi chuỗi Fourier đã được cố gắng áp dụng cường độ thủy triều và thủy triều để dự đoán. Vào thời điểm này, Lord Kelvin đã phát minh ra một thiết bị tương tự như thiết bị điện toán, cho phép các thủy thủ của đội quân đội và thương gia theo dõi hiện tượng tự nhiên này. Cơ chế này xác định các tập hợp các giai đoạn và biên độ từ bảng chiều cao thủy triều và các điểm thời gian tương ứng được đo cẩn thận trong bến cảng trong năm. Mỗi tham số là một thành phần sinusoidal của sự biểu hiện của chiều cao của thủy triều và là một trong những thành phần thông thường. Các kết quả đo được đưa vào thiết bị tính toán Kelvin, tổng hợp một đường cong dự đoán độ cao của nước như là một chức năng tạm thời cho năm tới. Rất sớm các đường cong như vậy đã được biên soạn cho tất cả các bến cảng của thế giới.

Và nếu quá trình bị phá vỡ bởi một chức năng gián đoạn?

Vào thời điểm đó dường như rõ ràng rằng một thiết bị dự báo sóng tràn với một số lượng lớn các phần tử đếm có thể tính toán một số lượng lớn các giai đoạn và biên độ và do đó cung cấp các dự đoán chính xác hơn. Tuy nhiên, nó bật ra rằng điều này thường xuyên không phải là quan sát thấy trong những trường hợp khi biểu hiện thủy triều, cần được tổng hợp, có một bước nhảy mạnh, nghĩa là nó không liên tục. Trong trường hợp thiết bị nhập dữ liệu từ bảng thời gian, nó tính một số hệ số Fourier. Chức năng gốc được khôi phục do các thành phần hình sin (theo các hệ số được tìm thấy). Sự khác nhau giữa biểu thức ban đầu và biểu thức khôi phục có thể được đo tại bất kỳ điểm nào. Khi thực hiện tính toán lặp lại và so sánh, rõ ràng là giá trị của lỗi lớn nhất không phải là giảm. Tuy nhiên, chúng được bản địa hóa trong khu vực tương ứng với điểm không liên tục, và tại bất kỳ điểm nào khác chúng có xu hướng không. Năm 1899, kết quả này được lý thuyết xác nhận bởi Joshua Willard Gibbs của Đại học Yale.

Sự hội tụ của chuỗi Fourier và sự phát triển của toán học nói chung

Phân tích Fourier không áp dụng cho các biểu thức có chứa một số lượng vô hạn các vụ nổ trên một khoảng thời gian nhất định. Nhìn chung, chuỗi Fourier, nếu hàm gốc được biểu diễn bởi kết quả của một kích thước vật lý thực sự, luôn hội tụ. Các câu hỏi về sự hội tụ của quá trình này cho các lớp cụ thể của các chức năng đã dẫn đến sự xuất hiện của các phần mới trong toán học, ví dụ, lý thuyết về các hàm tổng quát. Nó có liên quan đến những cái tên như L. Schwartz, J. Mikusinsky và J. Temple. Trong khuôn khổ của lý thuyết này, một khung lý thuyết rõ ràng và chính xác đã được tạo ra cho các biểu thức như chức năng Dirac delta (nó mô tả diện tích của một khu vực duy nhất tập trung trong một khu vực vô hạn của một điểm) và "bước" của Heaviside. Do công việc này, loạt Fourier đã trở thành áp dụng để giải quyết phương trình và các vấn đề mà trong đó các khái niệm trực quan xuất hiện: tính điểm, khối lượng điểm, lưỡng cực từ, và cũng tập trung tải trên chùm.

Phương pháp Fourier

Chuỗi Fourier, phù hợp với các nguyên tắc can thiệp, bắt đầu với sự phân hủy các dạng phức tạp thành các đơn giản hơn. Ví dụ, sự thay đổi trong dòng chảy nhiệt là do sự đi qua các trở ngại khác nhau từ vật liệu cách nhiệt có hình dạng không đều hoặc bằng cách thay đổi bề mặt trái đất - một trận động đất, sự thay đổi quỹ đạo của thân thể bầu trời, do ảnh hưởng của các hành tinh. Theo nguyên tắc, các phương trình tương tự mô tả các hệ thống cổ điển đơn giản được giải quyết cơ bản cho từng sóng riêng lẻ. Fourier cho thấy rằng các giải pháp đơn giản cũng có thể được tổng kết để giải quyết các vấn đề phức tạp hơn. Thể hiện bằng ngôn ngữ của toán học, chuỗi Fourier là một kỹ thuật thể hiện một biểu thức bằng tổng các sóng hài - cosin và sinusoid. Do đó, phân tích này còn được gọi là "phân tích hài hòa".

Loạt Fourier là một kỹ thuật lý tưởng trước thời đại "máy tính"

Trước khi tạo ra công nghệ máy tính, phương pháp của Fourier là vũ khí tốt nhất trong kho vũ trụ của các nhà khoa học khi làm việc với bản chất sóng của thế giới của chúng ta. Chuỗi Fourier ở dạng phức tạp cho phép chúng ta giải quyết không chỉ các vấn đề đơn giản có liên quan đến việc áp dụng trực tiếp các luật của cơ học Newton mà còn các phương trình cơ bản. Hầu hết các khám phá của khoa học Newton về thế kỷ XIX trở thành có thể chỉ nhờ vào phương pháp Fourier.

Chuỗi Fourier ngày nay

Với sự phát triển của máy tính, các biến đổi Fourier đã tăng lên một cấp độ mới về chất lượng. Kỹ thuật này chắc chắn nằm sâu trong hầu hết các lĩnh vực khoa học và công nghệ. Một ví dụ là một âm thanh số và tín hiệu video. Sự hiện thực của nó trở thành có thể chỉ nhờ vào lý thuyết được phát triển bởi nhà toán học người Pháp vào đầu thế kỷ XIX. Như vậy, chuỗi Fourier trong một hình thức phức tạp đã làm cho nó có thể làm cho một bước đột phá trong nghiên cứu của không gian bên ngoài. Ngoài ra, điều này ảnh hưởng đến nghiên cứu vật lý của vật liệu bán dẫn và plasma, vi âm vi sóng, hải dương học, radar, địa chấn học.

Bộ Fourier lượng giác

Trong toán học, chuỗi Fourier là một cách để đại diện cho các hàm phức tạp tùy ý như là một tổng hợp các phép tính đơn giản. Nói chung, số lượng các biểu thức như vậy có thể là vô hạn. Trong trường hợp này, số lượng của chúng được đưa vào tính toán càng nhiều càng tốt, kết quả cuối cùng chính xác hơn. Thông thường, cosin lượng giác hoặc chức năng xoang được sử dụng như là những đơn giản nhất. Trong trường hợp này, chuỗi Fourier được gọi là lượng giác, và giải pháp của các biểu thức như vậy là sự giãn nở của hài hòa. Phương pháp này đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Trước tiên, chuỗi lượng giác cung cấp phương tiện cho hình ảnh, cũng như nghiên cứu các chức năng, nó là bộ máy cơ bản của lý thuyết. Ngoài ra, nó cho phép giải quyết một số vấn đề của vật lý toán học. Cuối cùng, lý thuyết này đã đóng góp vào sự phát triển của phân tích toán học, đưa vào cuộc sống một số phần rất quan trọng của khoa học toán học (lý thuyết tích phân, lý thuyết về các chức năng tuần hoàn). Ngoài ra, nó còn là điểm xuất phát cho sự phát triển của các lý thuyết sau : bộ, chức năng của một biến thực, phân tích chức năng và cũng đã bắt đầu phân tích hài hòa.