Đại số Boolean. đại số logic. Các yếu tố của logic toán học

Trong thế giới ngày nay chúng ta đang ngày càng sử dụng nhiều loại máy và các tiện ích. Và không chỉ khi nó là cần thiết để áp dụng sức mạnh theo nghĩa đen siêu: di chuyển tải để nâng cao nó vào chiều cao, đào rãnh dài và sâu, vv Ô tô ngày nay thu thập robot, thức ăn được nấu chín Multivarki và tính toán số học tiểu học sản xuất máy tính ... Ngày càng thường xuyên hơn chúng ta nghe cụm từ "Boolean algebra". Có lẽ đã đến lúc để hiểu được vai trò của con người trong việc tạo ra các robot và máy móc khả năng để giải quyết không chỉ toán học, mà còn vấn đề logic.

Logic

Trong logic Hy Lạp - một hệ thống ra lệnh cho tư tưởng tạo ra mối quan hệ giữa các điều kiện nhất định và cho phép bạn thực hiện các kết luận dựa trên giả định và ước tính. Khá thường xuyên, chúng tôi yêu cầu mỗi khác: "Đó là logic để" Câu trả lời khẳng định giả thuyết của chúng tôi hoặc chỉ trích tàu của tư tưởng. Nhưng quá trình này không dừng lại ở đó: chúng ta tiếp tục nói chuyện.

Đôi khi số lượng các điều kiện (đầu vào) là tuyệt vời như vậy, và mối quan hệ giữa chúng là rất khó hiểu và phức tạp nhất mà não bộ của con người là không thể "tiêu hóa" tất cả cùng một lúc. Bạn có thể cần nhiều hơn một tháng (tuần, năm) cho sự hiểu biết về những gì đang xảy ra. Nhưng cuộc sống hiện đại không cho chúng ta những khoảng thời gian để đưa ra quyết định. Và chúng tôi dùng đến sự trợ giúp của máy tính. Và nó là ở đây rằng có một đại số và logic, hợp với luật pháp và tính chất của nó. Sau khi tải về tất cả các dữ liệu ban đầu, chúng tôi cho phép các máy tính để nhận ra tất cả các mối quan hệ, để loại bỏ mâu thuẫn và tìm một giải pháp thỏa đáng.

Toán học và logic

Nổi tiếng Gotfrid Vilgelm Leybnits xây dựng các khái niệm về "logic toán học", trong đó nhiệm vụ là dễ hiểu chỉ một vòng tròn nhỏ của các học giả. Quan tâm đặc biệt là sự chỉ đạo không gây ra, và đến giữa thế kỷ XIX của logic toán học nổi tiếng bởi ít.

Sự quan tâm lớn trong cộng đồng khoa học đã gây ra một vụ tranh chấp trong đó người Anh Dzhordzh Bul tuyên bố ý định của mình để thành lập một chi nhánh của toán học, không có hoàn toàn không sử dụng thực tế. Như chúng ta đã biết từ lịch sử, vào thời điểm này tích cực phát triển sản xuất công nghiệp, chúng tôi phát triển tất cả các loại máy phụ trợ, t. E. Tất cả những khám phá khoa học đã có một định hướng thực tế.

Nhìn về phía trước, chúng ta nói rằng một đại số Boolean - sử dụng nhiều nhất trong thế giới ngày nay là một phần của toán học. Vì vậy, tranh luận của bạn Buhl mất.

Dzhordzh Bul

Nhân cách của tác giả xứng đáng đặc biệt chú ý. Thậm chí cho thực tế rằng trong những người trong quá khứ lớn lên trước mắt chúng ta, vẫn cần lưu ý rằng trong 16 năm của John. Buhl giảng dạy tại trường làng, và đến 20 năm mở trường riêng của mình ở Lincoln. Nhà toán học hoàn toàn làm chủ được năm ngoại ngữ, và trong thời gian rảnh rỗi của mình, đang đọc các tác phẩm của Newton và Lagrange. Và tất cả điều này - về con trai một nhân viên bình thường của!

Năm 1839, Buhl gửi bài báo khoa học đầu tiên của mình trong Cambridge Tạp chí Toán học. Nhà khoa học quay 24 năm. việc Boole là thành viên rất quan tâm của Hội Hoàng gia, năm 1844 ông nhận được một huy chương vì những đóng góp cho sự phát triển của phân tích toán học. Một vài bài báo đăng trên đó các phần tử của logic toán học, toán học cho phép các nhà trẻ để có những bài của giáo sư tại trường Cao đẳng County Cork đã được mô tả. Nhớ lại rằng vào giáo dục rất Boole đã không được.

tư tưởng

Về nguyên tắc, đại số Boolean là rất đơn giản. Có báo cáo (logic biểu thức) đó, từ quan điểm của toán học, chỉ có thể được xác định trong hai từ: "true" hoặc "false". Ví dụ, cây nở vào mùa xuân - sự thật, vào mùa hè tuyết rơi - một lời nói dối. Vẻ đẹp của toán học là nó không phải là thực sự cần thiết để sử dụng chỉ số. Đối với bản án đại số khá phù hợp với bất kỳ báo cáo với ý nghĩa độc đáo.

Như vậy, đại số logic có thể được sử dụng theo nghĩa đen ở khắp mọi nơi: trong lập kế hoạch và viết hướng dẫn, phân tích các thông tin mâu thuẫn về các sự kiện và việc xác định chuỗi các hành động. Điều quan trọng nhất - để nhận ra rằng nó không quan trọng như thế nào chúng tôi xác định sự thật hay giả dối của báo cáo. Từ những "làm thế nào" và "tại sao" bạn cần phải bỏ qua. Điều đáng quan tâm là chỉ một tuyên bố về sự kiện: sự thật là một lời nói dối.

Tất nhiên, lập trình các chức năng quan trọng nhất của đại số logic được ghi nhận với những dấu hiệu và biểu tượng thích hợp. Và tìm hiểu họ - nó có nghĩa là để học một ngoại ngữ mới. Không có gì là không thể.

khái niệm và định nghĩa cơ bản

Mà không đi vào chiều sâu, chúng ta đối phó với thuật ngữ. Vì vậy, đại số Boolean giả thiết:

• báo cáo;
• phép toán logic;
• chức năng và pháp luật.

Báo cáo - bất kỳ biểu hiện khẳng định rằng có thể được giải thích hai có giá trị. Chúng được viết như số (5> 3) hoặc xây dựng từ quen thuộc (con voi - những động vật có vú lớn nhất). Trong trường hợp này, cụm từ "cổ của hươu cao cổ không phải là" cũng có quyền được tồn tại, chỉ có đại số Boolean xác định nó như "một lời nói dối."

Tất cả các báo cáo nên được rõ ràng, nhưng họ có thể cơ bản hoặc hợp chất. sử dụng gần đây bó logic. E. Trong hợp chất tuyên bố đại số bản án hình thành bởi việc bổ sung các hoạt động logic tiểu học.

hoạt động đại số Boolean

Chúng tôi đã nhớ rằng các hoạt động trong đại số của các bản án - logic. Cũng giống như đại số của số bằng cách sử dụng phép tính số học để cộng, trừ, hoặc so sánh số, các yếu tố logic toán học cho phép lập báo cáo phức tạp, để từ chối hoặc để tính toán kết quả cuối cùng.

hoạt động logic cho việc chính thức và đơn giản thể hiện bằng công thức, quen thuộc với chúng ta trong số học. Tính chất của phương trình đại số Boolean làm cho nó có thể ghi lại và tính toán rõ. phép toán logic thường được ghi lại bởi bảng sự thật. phần tử của nó xác định các cột và hoạt động tính toán được thực hiện trên họ, và các hàng hiển thị các kết quả tính toán.

logic cơ bản của hành động

Phổ biến nhất trong hoạt động đại số Boolean là phủ định (NOT), và logic AND và OR. Vì vậy, nó có thể để mô tả thực tế tất cả các bước trong bản án đại số. Chúng tôi đã nghiên cứu một cách chi tiết mỗi trong ba hoạt động.

Sự phủ (không) được áp dụng để chỉ có một phần tử (operand). Do đó, các hoạt động được gọi là phủ định unary. Để ghi lại các khái niệm "không A" sử dụng biểu tượng như: ¬ Â, A hoặc A !. Dưới dạng bảng nó trông như thế này:

Chức năng từ chối đặc trưng của một tuyên bố như vậy: nếu A là đúng, sau đó A - là sai. Ví dụ, mặt trăng xoay quanh trái đất - sự thật; Trái đất xoay quanh mặt trăng - một lời nói dối.

phép nhân logic và bổ sung

Logic AND hoạt động được gọi là một kết hợp. có nghĩa là gì? Thứ nhất, nó có thể được áp dụng cho hai toán hạng, ví dụ, I - .. hoạt động nhị phân. Thứ hai, nó chỉ là trong trường hợp của sự thật của cả hai toán hạng (cả A và B) là đúng sự thật và sự biểu hiện bản thân. Các câu tục ngữ: "Sự kiên nhẫn và một chút nỗ lực" ngụ ý rằng chỉ có hai yếu tố có thể giúp một người đối phó với những khó khăn.

những biểu tượng được sử dụng để ghi: A∧B, A⋅B hoặc A && B.

Kết hợp là tương tự với phép nhân trong số học. Đôi khi và nói - nhân logic. Nếu bạn nhân các yếu tố của các hàng của bảng, chúng tôi nhận được kết quả tương tự như tư duy logic.

Phân ly là một logic OR hoạt động. Đó là TRUE nếu ít nhất một trong những điều khoản đúng (A hoặc B). Nó được viết như thế này: A∨B, A + B hoặc A || B. bảng chân lý cho các hoạt động này bao gồm:

Phân ly Ngoài số học tương tự. hoạt động bổ sung hợp lý chỉ có một hạn chế: 1 + 1 = 1. Nhưng chúng ta hãy nhớ rằng trong một định dạng kỹ thuật số được giới hạn logic toán học 0 và 1 (trong đó 1 - sự thật, 0 - false). Ví dụ, báo cáo kết quả "trong viện bảo tàng, bạn có thể thấy một kiệt tác hoặc tìm một công ty tốt" có nghĩa là những gì bạn có thể thấy tác phẩm nghệ thuật, và nó có thể đáp ứng một người thú vị. Cùng lúc đó, không loại trừ khả năng thực hiện đồng thời của cả hai sự kiện.

Chức năng và pháp luật

Vì vậy, chúng ta đã biết những gì các hoạt động hợp lý sử dụng đại số Boolean. Chức năng mô tả tất cả các thuộc tính của các yếu tố của logic toán học, và cho phép chúng tôi để đơn giản hóa báo cáo hợp chất phức tạp. Rõ ràng nhất và đơn giản dường như sở hữu từ chối các hoạt động phái sinh. Bằng các dẫn xuất được hiểu XOR, ý nghĩa và tương đương. Như chúng ta đã đọc chỉ với thao tác cơ bản, và sau đó bất động sản cũng là chỉ xem xét chúng.

Associativity có nghĩa là trong những điều khoản như "cả A và B, và niêm yết dãy B' của toán hạng không quan trọng. Công thức được viết như sau:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Như bạn có thể thấy, đây không phải là duy nhất cho các kết hợp nhưng một phân ly.

Giao hoán lập luận rằng các kết quả của sự kết hợp hoặc phân ly không phụ thuộc vào mục được coi là ở giai đoạn đầu:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity cho phép tiết lộ những dấu ngoặc trong biểu thức logic phức tạp. Quy định tương tự như các dấu mở ngoặc trong phép nhân và bổ sung trong đại số:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

tính đơn vị và trầy xước, có thể là một trong những toán hạng cũng tương tự như các phép nhân đại số bằng zero hoặc một, và bổ sung các đơn vị:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency cho chúng ta biết rằng nếu tương đối hai toán hạng bằng kết quả của các hoạt động là như nhau, bạn có thể "ném" các toán hạng phức tạp lý dư thừa. Và kết hợp và phân ly hoạt động được idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Mua lại cũng cho phép chúng ta đơn giản hóa phương trình. Hấp thụ khẳng định rằng khi biểu thức được áp dụng cho một toán hạng, một hoạt động với cùng một nguyên tố của toán hạng kết quả được hấp thụ hoạt động.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

chuỗi các hoạt động

Chuỗi các hoạt động có tầm quan trọng rất lớn. Trên thực tế, đối với đại số, có một chức năng ưu tiên sử dụng một đại số Boolean. Công thức có thể được đơn giản hóa chỉ phụ thuộc vào tầm quan trọng của các hoạt động. Xếp hạng quan trọng nhất để không đáng kể, chúng tôi có được trình tự sau đây:

1. Từ chối.

2. Liên từ.

3. Các phân ly, XOR.

4. Ý nghĩa, tính tương đương.

Như bạn có thể thấy, chỉ sự phủ định của các kết hợp và không được ưu tiên bằng nhau. Ưu tiên có sự khác biệt và XOR đều bình đẳng, cũng như những ưu tiên của ý nghĩa và tương đương.

Chức năng của ý nghĩa và tương đương

Như chúng ta đã biết, ngoài các phép toán logic cơ bản, logic toán học và lý thuyết về thuật toán sử dụng các dẫn xuất. Đó là thường xuyên nhất ý nghĩa và tương đương.

Hàm ý hoặc hậu quả logic - tuyên bố này, trong đó một hành động là một điều kiện, và người kia - là kết quả của việc thực hiện. Nói cách khác, đề xuất này với lý do "nếu ... thì". "Sau bữa tối đến sự phán xét." E. Đối với lái xe để được thắt chặt trên đồi xe trượt tuyết. Nếu không có mong muốn di chuyển từ trên núi xuống, và sau đó kéo xe trượt tuyết là không cần thiết. Được viết như vậy: A → B hoặc A⇒B.

Tương đương ngụ ý rằng tác động ròng chỉ xảy ra khi cả hai toán hạng là đúng sự thật. Ví dụ, đêm nhường chỗ cho đến ngày sau đó (và chỉ sau đó), khi mặt trời mọc trên đường chân trời. Trong ngôn ngữ của logic toán học của tuyên bố này được viết dưới dạng A≡B, A⇔B, A == B.

luật khác của đại số Boolean

Đại số án phát triển, và nhiều nhà khoa học quan tâm để xây dựng luật mới. Nổi tiếng nhất được coi là mặc nhiên nhà toán học người Scotland O. De Morgan. Ông chú ý và đã đưa ra một định nghĩa các thuộc tính như phủ định chặt chẽ, bổ sung và tiêu cực kép.

Đóng từ chối gợi ý rằng trước khi ngoặc là không thể phủ nhận: không (A hoặc B) = không A hoặc B. KHÔNG

Khi toán hạng bị từ chối, bất kể giá trị của nó, nói về bổ sung:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Và cuối cùng, sự phủ định kép tự bù đắp. tức là trước khi một trong hai toán hạng phủ biến mất hoặc chỉ có một vẫn còn.

Làm thế nào để giải quyết các bài kiểm tra

Logic ngụ ý phương trình đơn giản hóa được xác định trước. Cũng giống như trong đại số Lie, nó là cần thiết để tối đa tạo điều kiện điều kiện đầu tiên (để thoát khỏi các hoạt động đầu vào phức tạp, và với họ), sau đó bắt đầu tìm kiếm một câu trả lời đúng.

Phải làm gì để đơn giản hóa? Chuyển đổi tất cả các dẫn xuất trong một thao tác đơn giản. Sau đó phát hiện ra tất cả các dấu ngoặc (hoặc ngược lại, để làm cho các dấu ngoặc để giảm yếu tố này). Bước tiếp theo sẽ sử dụng thuộc tính đại số Boolean trong thực tế (tính chất hấp thụ zero và một, và t.).

Cuối cùng, phương trình nên bao gồm một số lượng tối thiểu của các ẩn số, kết hợp với hoạt động đơn giản. Cách dễ nhất để tìm kiếm một giải pháp, nếu bạn thực hiện một số lượng lớn các âm gần. Thì câu trả lời sẽ bật lên như thể của chính nó.