Số thực và tài sản của chúng

Pythagoras tuyên bố rằng số lượng nằm ở cơ sở của thế giới ngang bằng với các yếu tố chính. Plato tin rằng số lượng kết nối hiện tượng và noumenon, giúp nhận biết, đo lường và rút ra kết luận. Số học đến từ từ "arithmos" - số, bắt đầu bắt đầu trong toán học. Nim có thể mô tả bất kỳ đối tượng nào - từ táo cơ bản đến không gian trừu tượng.

Nhu cầu là một nhân tố phát triển

Ở giai đoạn đầu của sự hình thành xã hội, nhu cầu của người dân được giới hạn trong nhu cầu giữ điểm số - một túi ngũ cốc, hai túi hạt, ... Để làm điều này, nó đủ để có các con số tự nhiên, tập hợp đó là một dãy tích cực vô hạn của các số nguyên N.

Sau đó, với sự phát triển của toán học như một khoa học, đã xuất hiện một nhu cầu cho một trường riêng biệt của số nguyên Z - nó bao gồm số lượng âm và số không. Sự xuất hiện của ông ở cấp hộ gia đình đã bị kích động bởi thực tế là trong bộ phận kế toán chủ yếu cần phải giải quyết một cách nào đó các khoản nợ và thiệt hại. Ở cấp độ khoa học, số âm làm cho nó có thể giải quyết các phương trình tuyến tính đơn giản nhất . Trong số những thứ khác, giờ đây có thể hiển thị một hệ tọa độ nhỏ, bởi vì một điểm tham chiếu xuất hiện.

Bước tiếp theo là sự cần thiết phải nhập số liệu phân số, vì khoa học không đứng vững, ngày càng có nhiều khám phá mới đòi hỏi phải có nền tảng lý thuyết để thúc đẩy tăng trưởng mới. Vì vậy, đã xuất hiện lĩnh vực số hợp lý Q.

Cuối cùng, tính hợp lý đã ngừng đáp ứng yêu cầu, bởi vì tất cả các kết luận mới đều đòi hỏi phải có sự biện hộ. Một lĩnh vực số thực R xuất hiện, Euclid của các công trình về incommensurability của một số lượng nhất định do phi lý của họ. Đó là, các nhà toán học người Hy Lạp cổ định vị con số này không chỉ như một hằng số, mà còn là một giá trị trừu tượng, được đặc trưng bởi tỷ số của các số không thể so sánh được. Nhờ số thực đã xuất hiện, "giá trị" như "pi" và "e" đã "nhìn thấy ánh sáng", mà không có toán học hiện đại không thể diễn ra.

Sự đổi mới cuối cùng là số phức C. Nó trả lời một số câu hỏi và bác bỏ những giả định đã được giới thiệu trước đây. Do sự phát triển nhanh chóng của đại số, kết quả có thể dự đoán được - có số thực, giải pháp cho nhiều vấn đề là không thể. Ví dụ, do các con số phức tạp, các lý thuyết dây và hỗn độn đã được chỉ ra, các phương trình của thủy động lực học đã được mở rộng.

Lý thuyết bộ. Cantor

Khái niệm vô hạn ở mọi thời điểm đã gây tranh cãi, vì nó không thể được chứng minh hay bác bỏ. Trong bối cảnh toán học, hoạt động với các định đề đã được xác minh cẩn thận, điều này thể hiện rõ ràng nhất, đặc biệt là vì khía cạnh thần học vẫn có trọng lượng trong khoa học.

Tuy nhiên, nhờ công trình của nhà toán học Georg Cantor, mọi thứ đã rơi vào vị trí với thời gian. Ông đã chứng minh rằng các tập vô hạn tồn tại một tập vô hạn, và trường R lớn hơn trường N, để cả hai không có kết thúc. Vào giữa thế kỷ XIX, ý tưởng của ông đã được gọi là ồn ào và tội phạm chống lại các giáo sĩ cổ điển, không lay chuyển, nhưng thời gian đã đặt mọi thứ vào vị trí của nó.

Các thuộc tính cơ bản của trường R

Số thực không chỉ có các đặc tính giống như các tiểu nhiệm vụ mà chúng bao gồm trong chúng, nhưng cũng được bổ sung bởi các yếu tố khác do trọng lượng của các yếu tố của chúng:

• Zero tồn tại và thuộc về trường R. c + 0 = c cho bất kỳ c trong R.
• Zero tồn tại và thuộc về trường R. c x 0 = 0 cho bất kỳ c trong R.
• Tỷ số c: d cho d ≠ 0 tồn tại và có thực đối với bất kỳ c, d trong R.
• Trường R được sắp xếp, nghĩa là, nếu c ≤ d, d ≤ c, sau đó c = d cho bất kỳ c, d trong R.
• Sự bổ sung trong trường R là giao hoán, nghĩa là, c + d = d + c cho bất kỳ c, d trong R.
• Việc nhân trong trường R là hoán vị, nghĩa là, cx d = dx c cho bất kỳ c, d trong R.
• Sự bổ sung trong trường R là kết hợp, nghĩa là, (c + d) + f = c + (d + f) cho bất kỳ c, d, f trong R.
• Việc nhân trong trường R là kết hợp, nghĩa là, (c x d) x f = c x (d x f) cho bất kỳ c, d, f trong R.
• Đối với mỗi số từ trường R tồn tại một số đối diện, như vậy c + (-c) = 0, trong đó c, -c từ R.
• Đối với mỗi số trong trường R tồn tại một nghịch đảo sao cho c c c c = 1, trong đó c, c ^-1 của R.
• Một đơn vị tồn tại và thuộc về R, sao cho c x 1 = c, với bất kỳ c trong R.
• Định luật phân phối giữ, sao cho c x (d + f) = c x d c c f, cho bất kỳ c, d, f trong R.
• Trong trường R, số không bằng không.
• Trường R là chuyển tiếp: nếu c ≤ d, d ≤ f, thì c ≤ f cho bất kỳ c, d, f trong R.
• Trong trường R, trật tự và các phép cộng tương quan với nhau: nếu c ≤ d, thì c + f ≤ d + f cho bất kỳ c, d, f trong R.
• Trong trường R, thứ tự và nhân là tương quan với nhau: nếu 0 ≤ c, 0 ≤ d, thì 0 ≤ c x d cho bất kỳ c, d từ R.
• Cả hai số thực âm và dương đều liên tục, nghĩa là, với bất kỳ c, d trong R có một f của R sao cho c ≤ f ≤ d.

Môđun trong trường R

Số thực bao gồm một điều như một mô-đun. Nó được ký hiệu là | f | Đối với bất kỳ f trong R. | f | = F, nếu 0 ≤ f và | f | = -f nếu 0> f. Nếu chúng ta xem xét mô đun này dưới dạng một giá trị hình học, thì nó đại diện cho khoảng cách di chuyển - không quan trọng nếu bạn "vượt qua" bằng 0 trong trừ hoặc chuyển tiếp sang dấu cộng.

Số phức và số thực. Điều gì là phổ biến và sự khác biệt là gì?

Bởi và lớn, phức tạp và số thực là một và giống nhau, ngoại trừ các đơn vị tưởng tượng i, có hình vuông là -1, tham gia đầu tiên. Các phần tử của các trường R và C có thể được biểu diễn như sau:

• C = d + f x i, trong đó d, f thuộc trường R, và i là đơn vị tưởng tượng.

Để có được c từ R trong trường hợp này, f chỉ đơn giản được coi là bằng không, nghĩa là, chỉ có phần thực của số còn lại. Bởi vì trường của các số phức có cùng một tập các thuộc tính như là trường số thực, f x i = 0, nếu f = 0.

Ví dụ, đối với những khác biệt thực tế, trong trường R, phương trình bậc hai không được giải quyết nếu phân biệt là âm, trong khi trường C không áp đặt một hạn chế như thế bằng việc đưa vào đơn vị tưởng tượng i.

Kết quả

"Gạch" của các tiên đề và các định đề mà trên đó toán học được dựa không thay đổi. Một số trong số họ, liên quan đến việc tăng cường thông tin và giới thiệu các lý thuyết mới, đặt "gạch" sau đây, mà trong tương lai có thể trở thành cơ sở cho bước tiếp theo. Ví dụ, các con số tự nhiên, mặc dù là một tập con của trường thực R, không bị mất liên quan. Trên đó tất cả các phép tính cơ sở là dựa trên sự hiểu biết của con người trên thế giới.

Từ một quan điểm thực tế, số thực trông giống như một đường thẳng. Trên đó bạn có thể chọn hướng, chỉ ra nguồn gốc và bước. Dòng bao gồm một số lượng vô hạn các điểm, mỗi điểm đều tương ứng với một số thực duy nhất, có hợp lý hay không. Từ mô tả rõ ràng là chúng ta đang nói về một khái niệm để xây dựng cả toán học nói chung, và phân tích toán học nói riêng.